Алгоритм решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

1) Если уравнение имеет вид (1), тот производную заменяют на отношение дифференциалов: .

2) Домножением на приводим уравнение к виду: .

Замечание: если уравнение имеет вид (2), то просто второе слагаемое переносим в правую часть.

3) С помощью деления или умножения на соответствующие функции собираем все функции, зависящие от х в той части, в которой находится , а все функции, зависящие от у там, где находится .

(1) (2)

Переменные х и у оказались разделенными знаком равенства (отсюда название уравнения).

Раз дифференциалы, находящиеся в левой и правой части уравнения одинаковы, то одинаковы будут и неопределенные интегралы от левой и правой части.

4) (1) (2) .

5) Вычисляя интегралы получаем общий интеграл уравнения: .

Пример: найти общее решение дифференциального уравнения, найти частное решение по начальным данным, построить интегральную кривую, соответствующую частному решению.

1)

2) подставим в общее решение начальное условие

подставим найденное значение произвольной постоянной и получим частное решение:

.

3)

Замечание: в алгоритме решения при переходе от пункта 2 к пункту 3 выполнялось деление на . Если при некотором значении y = b функция , то в этой точке деление выполнять нельзя и легко видеть, что y = b является решением дифференциального уравнения.

Аналогичное замечание можно сделать и для того случая, когда уравнение представлено в виде (2).

Замечание: уравнения с разделяющимися переменными наиболее простые и одновременно важные среди дифференциальных уравнений первого порядка, поскольку к такому виду сводятся многие другие дифференциальные уравнения.

Пример: уравнение вида сводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой:

Пример: