Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка.

Определение: линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка будем называть уравнение вида: , где - непрерывные функции.

Определение: функции будем называть линейно зависимыми, если существуют коэффициенты , не все равные нулю, такие, что: .

Определение: функции называются линейно независимыми, если выполнение равенства возможно лишь в случае .

Замечание: эти определения линейной зависимости и линейной независимости функций естественным образом обобщаются на произвольное число функций.

Если функции линейно зависимы, то одну из них можно выразить через другую, а именно , и наоборот.

Пример: покажем, что функции линейно независимы, если .

Пусть , и при этом выполнено равенство:

Это равенство никогда не может быть тождественно выполнено, поскольку в левой части постоянная величина, а в правой части, в силу , находится функция, экспоненциально зависящая от переменной х.

Теорема: если - это два линейно независимые решения уравнения , то общее решение этого дифференциального уравнения может быть представлено в виде: .

Покажем, что является решением дифференциального уравнения:

Выражения в скобках равны нулю, поскольку - это решения исходного уравнения, следовательно сумма равна нулю. А поскольку решение содержит две произвольные постоянные - это решение является общим.

Замечание: можно доказать также, что у дифференциального уравнения любое решение имеет вид .