Метод вариации произвольных постоянных.

Суть этого метода заключается в том, что решение неоднородного дифференциального уравнения ищется в виде: , где линейно независимые решения однородного уравнения . Остается найти функции .

Подставим выражение в исходное дифференциальное уравнение, получим:

Подчеркнутые одной линией слагаемые в сумме дают ноль, поскольку - решение однородного уравнения. По этой же причине, только для функции , в ноль обращается сумма слагаемых, подчеркнутых двойной линией. В результате получаем:

. Перепишем эту строчку в таком виде: .

Потребуем, чтобы .

. Из этой системы уравнений находим , интегрируя, находим .

Получаем общее решение: .

Пример: найти общее решение уравнения.

- два линейно независимых решения.

2. Решение неоднородного уравнения будем искать в виде:

общее решение уравнения: .

Метод неопределенных коэффициентов для построения частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

Специальной правой частью будем называть функцию следующего вида:

А также их произведения.

В общем виде специальную правую часть можно записать в виде: , где - это многочлены соответственно степеней nи m.

Утверждение: частное решение дифференциального уравнения можно искать в том же виде, который имеет специальная правая часть с неопределенными коэффициентами в многочленах.

Замечание 1: если в специальной правой части фигурируют тригонометрическая функция или , то в проекте частного решения обязательно следует писать обе тригонометрические функции , умноженные на многочлены одной и той же степени (старшей), но с разными неопределенными коэффициентами.

Замечание 2: если число является корнем характеристического уравнения кратности r, то проект частного решения следует целиком домножить на .

,

r– кратностьь характеристического уравнения.

Неопределенные коэффициенты находятся после подстановки проекта частного решения в исходное дифференциальное уравнение и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях х.

Пример: .

1. найдем общее решение однородного уравнения:

подставляем все это в исходное неоднородное уравнение. Каждое слагаемое будет содержать множитель , на который мы сократим.

коэффициенты при сокращаются, приравняем остальные коэффициенты:

Частное решение: .

Общее решение: .