Однородные дифференциальные уравнения.

Определение: однородной функцией степени n называется функция , обладающая следующим свойством: .

Пример:

1) .

2) .

Определение: однородными дифференциальными уравнениями будем называть дифференциальные уравнения следующего вида: , где и - это однородные функции одинаковой степени.

Отношение двух однородных функций одинаковой степени всегда можно представить в виде функции, зависящей от , т.е. .

Для этого достаточно разделить функцию и функцию на , где n – степень однородной функции. Тогда однородное уравнение принимает вид: . Это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой переменной U, которая выводится равенством y = Ux, производная при этом . Получаем уравнение: .

Пример: найти общее решение дифференциального уравнения .

Возьмем логарифм от обеих частей уравнения:

Замечание: иногда удобнее вводить другую переменную в однородных уравнениях, а именно считать независимой переменной у, зависимой переменной х и новую переменную вводить равенством , а производную равенством (функцию U рассматривать как функцию ).

Уравнения вида сводятся к однородным в тех случаях, когда определитель . В этом случае от переменных х и у переходят к новым переменным U и V по формулам: , где числа α и β находятся из решения системы:

.

Если определитель , то вводя новую переменную вместо у, получим относительно U уравнение с разделяющимися переменными.

Пример:

Найти общее решение уравнения: .

получили однородное уравнение, которое решается заменой:

Это уравнение с разделяющимися переменными.