Признаки Куммера, Даламбера, Раабе.

Признак Куммера

Пусть дан ряд и произвольная числовая последовательность , такая что ряд расходится. Тогда ряд сходится, если для некоторого выполняется неравенство:

,

где .

Если же для , то ряд расходится.

Доказательство

Дан ряд .

1.Пусть для всех выполняется неравенство:

.

Домножив обе части этого неравенства на , получим: , (*)

а поскольку , то:

,

.

Отсюда следует, что последовательность монотонно убывает и,следовательно, стремится к конечному пределу (так как она ограничена снизу нулём). Соответственно, сходится и последовательность ), которая является суммой первых членов ряда , который в силу этого также сходится.

Но тогда из неравенства (*), по первой теореме сравнения, следует, что сходится ряд . Тогда, поскольку , должен сходится и данный ряд .

2.Пусть теперь для некоторого выполняется неравенство:

или

.

Разделив обе части этого неравенства на получим:

.

Так как по условиям теоремы ряд предполагается расходящимся, то в силу теоремы сравнения, должен расходиться и данный ряд .