Основные свойства сходящихся числовых рядов.

1 свойство.

Отбрасывание конечного числа членов не влияет на сходимость ч.р.

Рассмотрим и Пусть

тогда

(29.1)

Если существует конечный предел справа в (29.1), то существует и предел слева, и ряд сходится

2 свойство.

Если ряд сходится и имеет сумму S, то ряд

с = const, сходится и имеет сумму cS.

Пусть тогда

3 свойство.

Если ряды сходятся и имеют суммы соответственно, то ряд сходится и имеет сумму

Пусть

тогда

Ряды с положительными членами. Признаки сравнения сходимости положительных рядов.

Положительные ряды

Если a_n ≥ 0 (n = 1, 2, 3,...), то ряд a ₁ + a ₂ + a ₃ +... называется положительным. В том случае, когда при всех n оказывается a_n > 0, будем называть ряд строго положительным.

Положительные ряды обладают многими свойствами, сближающими их с обычными суммами конечного числа слагаемых.

Легко видеть, что частичная сумма S_n = a ₁ + a ₂ +... + a_n положительного ряда возрастает (может быть, не строго) с увеличением n. Так как всякая возрастающая числовая последовательность имеет конечный или бесконечный предел (причем члены последовательности не превосходят этого предела), то для любого положительного ряда существует предел

Этот предел будет конечным или бесконечным, смотря по тому, ограничено сверху или нет множество частичных сумм { S_n }. Таким образом, имеет место

Теорема 1. Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда множество его частичных сумм ограничено сверху.

Разумеется, у ряда не положительного ограниченность множества частичных сумм не обеспечивает сходимости, как это видно из примера ряда 1 + (-1) + 1 + (-1) +...

Отметим еще, что частичные суммы сходящегося положительного ряда не превосходят его суммы.

Доказанная теорема сводит вопрос о сходимости положительного ряда к более простому вопросу об ограниченности множества его частичных сумм.

Рассмотрим, например, ряд (24)

в котором α > 1. Сумму этого ряда можно записать так:

Так как сумма содержит 2 ^k слагаемых, а самое большое из них есть первое, то эта сумма не превосходит числа

Поэтому

Стоящая здесь справа сумма есть частичная сумма геометрической прогрессии

(25)

Как было доказано ранее эта прогрессия сходится (т. к. α > 1), и сумма ее равна

(26)

Так как прогрессия (25) также является рядом положительным, то ее частичные суммы не превосходят ее суммы (26). Тем более

Это неравенство установлено для любого m. Но для всякого n можно найти такое m, что 2 ^m - 1 > n.

Поэтому при всяком n оказывается и ряд (24) сходится.

Следует, однако, заметить, что непосредственное применение теоремы 1 встречается сравнительно редко.

Обычно применяют основанные на ней, но более удобные признаки сходимости рядов. Простейший из них - это так называемый признак сравнения рядов

Если каждый член положительного ряда не больше, чем имеющий тот же номер член другого ряда, то второй ряд называется мажорантным по отношению к первому.

Иначе говоря, ряд b ₁ + b ₂ + b ₃ +... является мажорантным по отношению к ряду a ₁ + a ₂ + a ₃ +..., если при всех n будет a_n ≤ b_n.

Легко понять, что частичная сумма данного ряда не больше, чем (имеющая тот же номер) частичная сумма ряда мажорантного. Значит, если ограничены сверху частичные суммы мажорантного ряда, то это и подавно так для исходного ряда. Отсюда вытекает

Теорема 2. Если для положительного ряда существует сходящийся мажорантный ряд, то и сам этот ряд сходится. Если же данный ряд расходится, то расходится и всякий мажорантный для него ряд.

Рассмотрим, например, ряд (27)

предполагая α < 1. Ясно, что этот ряд - мажорантный по отношению к гармоническому ряду, и потому ряд (27) расходится.