Интегральный признак Коши.

Пусть - знакоположительный числовой ряд. Составим функцию непрерывного аргумента y = f(x), аналогичную функции . Пусть функция y = f(x) положительная, непрерывная и убывающая на интервале , где ). Тогда в случае сходимости несобственного интеграла сходится исследуемый числовой ряд. Если же несобственный интеграл расходится, то исходный ряд тоже расходится.

При проверке убывания функции y = f(x) на интервале Вам может пригодится теория из раздела возрастание и убывание функции.
Пример. Исследуйте числовой ряд с положительными членами на сходимость.

Решение. Необходимое условие сходимости ряда выполнено, так как . Рассмотрим функцию . Она положительная, непрерывная и убывающая на интервале . Непрерывность и положительность этой функции не вызывает сомнения, а на убывании остановимся чуть подробнее. Найдем производную: . Она отрицательная на промежутке , следовательно, функция убывает на этом интервале.

Таким образом, функция удовлетворяет всем условиям интегрального признака Коши. Воспользуемся им:

То есть, несобственный интеграл расходится, следовательно, расходящимся является исходный числовой ряд.