Первый признак сравнения рядов.

Пусть и - два знакоположительных числовых ряда и выполняется неравенство для всех k = 1, 2, 3,... Тогда из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости ряда следует расходимость .

Первый признак сравнения используется очень часто и представляет собой очень мощный инструмент исследования числовых рядов на сходимость. Основную проблему представляет подбор подходящего ряда для сравнения. Ряд для сравнения обычно (но не всегда) выбирается так, что показатель степени его k-ого члена равен разности показателей степени числителя и знаменателя k-ого члена исследуемого числового ряда. К примеру, пусть , разность показателей степени числителя и знаменателя равна 2 – 3 = -1, поэтому, для сравнения выбираем ряд с k-ым членом , то есть, гармонический ряд. Рассмотрим несколько примеров.
Пример. Установить сходимость или расходимость ряда .

Решение.

Так как предел общего члена ряда равен нулю , то необходимое условие сходимости ряда выполнено.

Несложно заметить, что справедливо неравенство для всех натуральных k. Мы знаем, что гармонический ряд расходится, следовательно, по первому признаку сравнения исходный ряд также является расходящимся.

Пример.

Исследуйте числовой ряд на сходимость.

Решение.

Необходимое условие сходимости числового ряда выполняется, так как . Очевидно выполнение неравенства для любого натурального значения k. Ряд сходится, так как обобщенно гармонический ряд является сходящимся для s > 1. Таким образом, первый признак сравнения рядов позволяет констатировать сходимость исходного числового ряда.

Пример.

Определите сходимость или расходимость числового ряда .

Решение.

, следовательно, необходимое условие сходимости числового ряда выполнено. Какой ряд выбрать для сравнения? Напрашивается числовой ряд , а чтобы определиться с s, внимательно исследуем числовую последовательность . Члены числовой последовательности возрастают к бесконечности. Таким образом, начиная с некоторого номера N (а именно, с N = 1619), члены этой последовательности будут больше 2. Начиная с этого номера N, справедливо неравенство . Числовой ряд сходится в силу первого свойства сходящихся рядов, так как получается из сходящегося ряда отбрасыванием первых N – 1 члена. Таким образом, по первому признаку сравнения сходящимся является ряд , а в силу первого свойства сходящихся числовых рядов сходится будет и ряд .

Второй признак сравнения.

Пусть и - знакоположительные числовые ряды. Если , то из сходимости ряда следует сходимость . Если , то из расходимости числового ряда следует расходимость .

Следствие.

Если и , то из сходимости одного ряда следует сходимость другого, а из расходимости следует расходимость.

Исследуем ряд на сходимость с помощью второго признака сравнения. В качестве ряда возьмем сходящийся ряд . Найдем предел отношения k-ых членов числовых рядов:

Таким образом, по второму признаку сравнения из сходимости числового ряда следует сходимость исходного ряда.

Пример.

Исследовать на сходимость числовой ряд .

Решение.

Проверим необходимое условие сходимости ряда . Условие выполнено. Для применения второго признака сравнения возьмем гармонический ряд . Найдем предел отношения k-ых членов:

Следовательно, из расходимости гармонического ряда следует расходимость исходного ряда по второму признаку сравнения.

Для информации приведем третий признак сравнения рядов.

Третий признак сравнения.

Пусть и - знакоположительные числовые ряды. Если с некоторого номера N выполняется условие , то из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости ряда следует расходимость .