Первообразная и неопределенный интеграл

.

(1)

Замечание 1. Первообразная функции на промежутке , будучи дифференцируемой функцией на этом промежутке является также и непрерывной на нем.

Теорема 1. Если и - две первообразные функции на промежутке , то существует такая постоянная что

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как и – первообразные функции на промежутке , то

и .

Поэтому

но это, как известно, означает, что функция является постоянной на промежутке □

Определение 2. Совокупность всех первообразных функции на промежутке называется неопределенным интегралом от функции .

Неопределенный интеграл от функции обозначается следующим образом

при этом символ называется знаком интеграла, а функция - подынтегральной функцией.

Если какая то первообразная функции на данном промежутке , то в соответствии с теоремой 1 и определением 2

(2)

Однако обычно пишут короче:

.

(3)

где - произвольная постоянная.

Отметим еще, что если - первообразная функции , то

Поэтому если - первообразная функции , то

n^o 2. Основные свойства неопределенного интеграла.

. Если функция дифференцируема на промежутке , то

или, иначе,

.

. Если функция имеет первообразную, то

и, следовательно,

.

Свойства и являются прямыми следствиями определения 2. Они показывают, что в некотором смысле операции интегрирования и дифференцирования являются обратными друг другу.

. Если функция имеет первообразную, то какова бы ни была постоянная , функция также имеет первообразную, причем всякая первообразная функции равна произведению числа на некоторую первообразную функции и, наоборот, всякое такое произведение есть некоторая первообразная функции и, следовательно

Таким образом, постоянную можно выносить за знак неопределенного интеграла.

. Если функции и имеют первообразные на промежутке ,то и функция имеет на нем первообразную, причем всякая первообразная функции является суммой некоторых первообразных функций и ; верно и обратное: всякая такая сумма является первообразной функции .Таким образом,

Следствием свойств и являются следующее свойствао

. (Линейность неопределенного интеграла). Если функции и имеют первообразные на промежутке , то каковы бы не были вещественные числа и , функция также имеет первообразную на промежутке , причем

n^o3. Таблица неопределенных интегралов от элементарных функций.

Для того,чтобы найти первообразную функции , а следовательно и неопределенный интеграл от этой функции, нужно найти такую функцию , производная которой всюду на заданном промежутке совпадает с функцией . Поэтому из таблицы для производных вытекает следующая таблица неопределенных интегралов.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

Полезно помнить также, что имеют место и следующие две формулы:

11.
12.

n^o4. Формула интегрирования по частям и формула замены переменной в неопределенном интеграле.

Теорема 2. Пусть функции и дифференцируемы на промежутке и существует первообразная функции . Тогда существует и первообразная функции ,а также имеет место формула

(1)

(формула интегрирования по частям).

Д о к а з а т е л ь с т в о. По правилу дифференцирования произведения дифференцируемых функций имеет место формула

.

Запишем её в виде

По условию функция имеет первообразную; функция также имеет первообразную (ей является функция ). Поэтому в силу свойства линейности неопределенного интеграла из предыдущего равенства следует, что первообразную имеет и функция , причем

□

Замечание 2. При выводе последней формулы мы воспользовались очевидным равенством

Замечание 3. Формулу интегрирования по частям часто записывают в виде

или, короче,

Теорема 3. Пусть функция имеет первообразную на промежутке , а функция дифференцируема на промежутке и . Тогда

(2)

Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию

.

Поэтому по правилу дифференцирования сложной функции имеем

а это означает, что - первообразная функции и, следовательно, пл определению неопределенного интеграла имеет место равенство (2) □

Замечание 7. Таккак - первообразная функции , то формулу (2) можно записать в виде

(2’)

или также в виде

,

(2”)

где . Каждую из этих двух равносильных формул называют формулой замены переменной (по

правилу ).

Date: 2016-07-05; view: 444; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...