Формула дюамеля

Если , – функции-оригиналы и , , то имеют место равенства (формулы Дюамеля):

Эти формулы применяют при решении задачи Коши со сложной правой частью. Пусть требуется решить линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

(3)

с начальными условиями

, (4)

где – функция-оригинал, . Сначала решается уравнение

(5)

с теми же начальными условиями (4); пусть – решение задачи (5)-(4). Сведение уравнений (3) и (5) к операторным приводит к равенствам

(6)

для (3) и

(7)

для (5), где – некоторый многочлен относительно p. Из (6) выражаем :

; (8)

из (7) находим . Подставляя в (8), получим

.

Наконец, пользуясь формулой Дюамеля, находим

.

Пример 7. Решить задачу Коши

Решение. Решим вспомогательную задачу Коши

;

решение этой задачи обозначим ; пусть . Имеем:

;

;

.

Получаем операторное уравнение

,

откуда находим

.

Далее:

Решением исходной задачи является функция