Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Применение вычетов для вычисления интегралов1°. Интегралы вида . Для вычисления таких интегралов используется подстановка . В этом случае отрезок на числовой прямой переходит в единичную окружность комплексной плоскости. Из формулы Эйлера следует, что , . Кроме того, , откуда находим . Это приводит нас к равенству , и интеграл справа можно вычислить с помощью вычетов. Пример. Вычислить интеграл . Решение. Сделаем подстановку . Тогда, согласно изложенному выше, получаем: Найдем ИОТ функции – нули знаменателя дроби: Из этих двух корней лишь один, , удовлетворяет условию , то есть попадает внутрь окружности . Действительно, Поэтому . Учитывая, что – простой полюс, получим, согласно теореме 10, Следовательно, . 2°. Интегралы вида , где – рациональная функция. Пусть , где и – многочлены степени m и n соответственно и (в противном случае интеграл расходится); пусть, наконец, не имеет действительных нулей. Введем в рассмотрение функцию комплексного переменного , полученную из путем замены действительного переменного x на комплексное переменное z. В комплексной плоскости проведем окружность радиуса R настолько большого, что все нули функции удовлетворяли неравенству . Рассмотрим контур, состоящий из отрезка действительной оси и верхней полуокружности окружности . Тогда, обозначив , можно записать , и, согласно теореме Коши о вычетах, , где суммирование ведется по ИОТ функции (нулям ), которые лежат в верхней полуплоскости. Если таково, что , (11) то, переходя к пределу при , получим . (12) Условие (11) будет выполнено, если . Действительно, в таком случае (при z, достаточно далеких от 0, б о льшую роль играют старшие слагаемые многочленов). Поэтому при , отсюда и вытекает условие (11). Следовательно, при можно пользоваться равенством (12). Пример. Вычислить интегралы: а) ; б) . Решение. а) В этом случае , следовательно, согласно формуле (12), . Функция имеет 4 ИОТ – нули знаменателя. Решим уравнение ; . Найдем эти числа из равенства , . , . Отсюда, придавая k значения 0, 1, 2, 3, находим ; Из них лишь и удовлетворяют условию . Поэтому . и являются простыми полюсами (простые нули для знаменателя, числитель в этих точках в нуль не обращается). Поэтому , . Таким образом, б) Для данной функции , поэтому действует равенство (12). У функции две особые точки – корни уравнения ; . Обе они являются полюсами второго порядка; однако, лишь одна из них, , удовлетворяет условию . Следовательно, . Поскольку то интеграл равен . 3°. Интегралы вида , где – рациональная функция. Нам понадобится Теорема 12 (лемма Жордана). Пусть и функция , непрерывная в полуплоскости , удовлетворяет условию при , (13) где – полуокружность , . Тогда . (14) Доказательство. Число может быть представлено в тригонометрической форме , ; тогда
Нам понадобится неравенство: при ; оно следует из выпуклости вверх графика функции на отрезке (смотрите рисунок). Проделаем выкладки: при (мы воспользовались легко доказываемым равенством ). Теорема доказана. Пусть требуется вычислить несобственный интеграл , где и – многочлены степени m и n соответственно, , и не имеет нулей на действительной оси. Рассмотрим функцию комплексного переменного . При для нее выполняется условие (13), а, следовательно, и (14) (так как при ). Обозначив и проведя те же рассуждения, что и выше, приходим к тому, что для функции справедливы равенства (11) и (12): . Как видим, в данном случае на m и n накладываются менее жесткие ограничения: для срабатывания метода достаточно выполнения неравенства . Учитывая, что , приходим к равенству , или ; приравнивая затем действительные и мнимые части, получаем равенства , . Пример. Вычислить интеграл . Решение. Для подынтегральной функции , поэтому . Функция имеет две ИОТ – нули знаменателя: , . Обе они являются простыми полюсами, но лишь одна из них, , удовлетворяет условию . Следовательно, Отсюда находим
|