Вычет функции. Теорема Коши о вычетах. Вычет в полюсе

Пусть – ИОТ функции . Окружим точку контуром (γ) так, чтобы внутри контура не оказалось других особых точек. Вычет функции в точке определяется равенством

.

(Если аналитична в точке , то этот интеграл равен 0.)

Теорема 7 (теорема Коши о вычетах). Пусть аналитична внутри контура (Γ), за исключением конечного числа ИОТ , , …, . Тогда

.

Доказательство. Окружим каждую из точек контуром так, чтобы внутри контура не оказалось других особых точек. Тогда

.

Теорема 8. Пусть – ИОТ функции и – разложение в ряд Лорана в окрестности точки . Тогда

.

Доказательство. Это непосредственное следствие формулы коэффициентов ряда Лорана – достаточно взять .

Следствие. Если – устранимая особая точка функции , то

.

Доказательство. В этом случае ряд Лорана функции в окрестности точки содержит лишь правильную часть, следовательно, .

Теорема 9. Если – простой полюс функции , то

.

Доказательство. Запишем разложение в ряд Лорана в окрестности точки :

.

Отсюда

;

.

Теорема 10. Пусть , функции и аналитичны в точке , – простой нуль для и (отсюда следует, что – простой полюс для ). Тогда

.

Доказательство. Воспользуемся теоремой 9:

.

Теорема 11. Если – полюс порядка n для функции , то

. (10)

Доказательство. Запишем разложение в ряд Лорана в окрестности точки :

.

Тогда

.

Продифференцировав последнее равенство раз, получим

.

Устремив z к , получим

,

или

.

Отметим, что теорема 9 является частным случаем теоремы 11 – достаточно взять и положить .

Пример. Найти вычеты в ИОТ функции: а) ; б) ; в) .

Решение. а) Функция имеет две ИОТ: и . Для числителя число является простым нулем:

.

Для знаменателя число также является простым нулем. Следовательно, – устранимая особая точка для (теорема 5 а)), и .

Число не является нулем для числителя и является нулем порядка 2 для знаменателя. Следовательно, – полюс порядка 2 для (теорема 5 б)), и, согласно формуле (10),

б) Функция имеет единственную ИОТ: . Воспользуемся известным разложением по степеням z:

.

Отсюда находим .

в) Функция имеет одну ИОТ: . Воспользуемся разложением функции в степенной ряд:

является существенно особой точкой, и .

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. Изолированными особыми точками подынтегральной функции являются , , и , из них лишь первые три находятся внутри круга , при этом ИОТ слагаемых не пересекаются. Согласно теореме Коши о вычетах,

.

Разложим в ряд Лорана по степеням :

Отсюда находим .

Перейдем к особой точке .

Отсюда следует, что ( оказалась устранимой особой точкой).

Перейдем к третьему слагаемому . Число является простым нулем для знаменателя и не является нулем для числителя, следовательно, – простой полюс для дроби. Согласно теореме 9,

.

Итак,

.