Преобразование Лапласа и его свойства

Функцией-оригиналом называется комплекснозначная функция действительного аргумента , удовлетворяющая следующим условиям:

1) определена и является кусочно-гладкой на всей числовой оси;

2) при ;

3) Существуют числа и , такие что ;

точная нижняя грань таких s называется порядком роста функции .

Простейшим примером функции-оригинала является функция Хевисайда

Произведение функций и обнуляет функцию при и не меняет ее значений при :

Для краткости всюду в дальнейшем будем писать вместо произведения .

Если – функция-оригинал, то преобразование Лапласа, определяемое равенством

,

ставит в соответствие функции другую функцию комплексного переменного . При этом называют изображением функции и пишут или .

Теорема 1. Если – функция-оригинал с показателем роста , то функция определена и является аналитической в полуплоскости .

Преобразование Лапласа обладает следующими свойствами (считаем , ):

Свойство 1 (линейность).

.

Свойство 2 (подобие).

.

Свойство 3 (запаздывание оригинала).

.

Свойство 4 (смещение изображения).

.

Свойство 5 (дифференцирование оригинала).

где .

Свойство 6 (дифференцирование изображения).

Свойство 7 (интегрирование оригинала).

.

Свойство 8 (интегрирование изображения).

,

где путь интегрирования соединяет точку p и бесконечно удаленную точку и целиком лежит в полуплоскости .

Имеет место следующая формула обращения преобразования Лапласа (формула Меллина): если , то

,

где интеграл берется вдоль любой прямой .

Таблица оригиналов и изображений.