Изолированные особые точки. Их классификация

Число называется изолированной особой точкой (ИОТ) функции , если дифференцируема во всех точках некоторой окрестности точки , кроме самой этой точки, а в точке функция не дифференцируема или не определена.

Различают три типа изолированных особых точек: устранимые особые точки, полюсы и существенно особые точки.

1) ИОТ называется устранимой особой точкой функции , если существует конечный предел

,

однако он не совпадает с или не определено. Если положить

то функция станет аналитичной в точке и тем самым устранится особенность в этой точке; этим фактом и объясняется название особой точки.

Пример. Функция имеет единственную особую точку . Выясним ее тип.

.

Следовательно, – устранимая особая точка. Если положить

то станет аналитической на всей плоскости .

Теорема 3. ИОТ является устранимой особой точкой функции в том и только в том случае, если в разложении в ряд Лорана функции в окрестности точки присутствует лишь правильная часть.

Доказательство. Пусть – устранимая особая точка , то есть существует конечный предел . Тогда ограничена в некотором круге радиуса δ с центром в точке : для всех z, удовлетворяющих неравенству . Пусть ; согласно формуле (9) для коэффициентов ряда Лорана,

.

Если , то при . А так как не зависят от r, то это возможно лишь в случае , , что означает отсутствие главной части ряда Лорана в разложении.

Докажем обратное утверждение. Пусть ряд Лорана функции в окрестности точки содержит лишь правильную часть:

.

Тогда , то есть – устранимая особая точка, что и требовалось доказать.

2) ИОТ называется полюсом, если (или, что то же самое, ).

Пример. Для функции точка является полюсом, так как .

Теорема 4. ИОТ является полюсом для функции в том и только в том случае, если ряд Лорана функции в окрестности точки содержит конечное (ненулевое) число слагаемых из главной части ряда:

, .

Доказательство. Пусть – полюс, то есть . Функция аналитична в некоторой проколотой окрестности точки (то есть в некоторой окрестности точки , за исключением самой точки ): . Тогда и точка является устранимой особой точкой для функции , следовательно, согласно теореме 3, допускает следующее разложение:

,

где , . Обозначим ; тогда , . Так как , то функция аналитична в некоторой окрестности точки : , поэтому функцию можно разложить в ряд Тейлора в окрестности точки :

,

при этом . Отсюда получаем

.

Докажем вторую часть теоремы; пусть в разложении в ряд Лорана по степеням присутствует лишь конечное (ненулевое) число слагаемых из главной части:

,

где ; то есть

.

Тогда , иначе говоря, – полюс функции . Теорема полностью доказана.

Число n, участвующее в этой теореме, называется порядком полюса. При полюс называется простым.

Из доказательства теоремы 4 вытекает

Следствие. Число является полюсом порядка n функции в том и только в том случае, если является нулем порядка n для функции

Аналогичным образом доказывается и более общее утверждение:

Теорема 5. Пусть и является нулем порядка m для и нулем порядка n для . Тогда

а) если , то является нулем порядка для функции

(то есть – устранимая особая точка для );

б) если , то является полюсом порядка для функции .

3) ИОТ называется существенно особой точкой для функции , если не существует ни конечного, ни бесконечного предела . Из доказанных выше теорем следует

Теорема 6. Число является существенно особой точкой для функции в том и только в том случае, если ряд Лорана в окрестности точки содержит бесконечно много (ненулевых) слагаемых из главной части.

Пример. Найти ИОТ и определить их тип для функции: а) ; б) .

Решение. а) Единственной изолированной особой точкой является . Разложим в ряд Лорана в окрестности этой точки, используя разложение в ряд Тейлора:

Ряд Лорана содержит конечное число (ровно два) ненулевых слагаемых из главной части, следовательно, является полюсом для . Порядок полюса равен 3.

б) имеет одну ИОТ: . Разложим функцию в ряд Лорана по степеням , пользуясь известным разложением в ряд Тейлора:

Главная часть ряда содержит бесконечное число слагаемых, поэтому является существенно особой точкой.