Центр изгиба балки несимметричного тонкостенного профиля

При изгибе балки тонкостенного несимметричного сечения изгиб может сопровождаться кручением. Так, рассматривая, консольный изгиб цилиндрического стержня (рис.3.76а), можно сказать, что стержень не будет закручиваться. Тонкостенные стержни с профилем в виде уголка (рис. 3.76б) и швеллера (рис. 3.76в) закручиваются, так как в поперечных сечениях одновременно с изгибающим моментом возникает крутящий момент.

Рисунок 3.76

Точка плоскости сечения, через которую должна проходить плоскость действия внешней нагрузки, чтобы поперечный изгиб не сопровождался кручением, называется центром изгиба, или центром жесткости сечения. Геометрическое место центров изгибов сечений называют линией жесткости балки.

Очевидно, что относительно центра изгиба крутящий момент создаваемый касательными напряжениями должен равняться нулю (рис. 3.77).Следовательно, условие для определения положения центра изгиба для общего случая несимметричного тонкостенного профиля (рис. 3.77) можно записать:

(1)

Рисунок 3.77

Произведение r ds представляет собой дифференциал секторальной площади dω, поэтому:

Подставим выражение для определения касательного напряжения τ, для случая, когда направление поперечной силы Q не совпадает с главной центральной осью сечения, , тогда получим:

(2)

Возьмем по частям первый из полученных интегралов:

Как известно, статический момент отсеченной части сечения равен:

(3)

Следовательно, в точке s₁ статический момент равен нулю, так как в точке s₁ отсеченная площадь сечения равна нулю. Статический момент в точке s₂ также равен нулю, так как ось z является главной центральной осью. Поэтому .

Продифференцируем выражение (3), получим:

В результате рассматриваемый интеграл принимает вид:

Аналогично преобразуем второй интеграл, входящий в выражение (2), в итоге получим:

(4)

Очевидно, что выражение (4) выполняется только в том случае, если выполняются два условия:

(5)

Таким образом, сектор секторально линейные моменты относительно главных центральных осей и центра изгиба равны нулю. Начало отсчета 0(z₀, y₀) вычисления секторальной площади ω не играет роли, так как при изменении секторальная площадь изменяется на постоянную величину, что не сказывается на условиях (5).

Практически положение центра изгиба определяется следующим образом. Вычисляем секторальные площади ω_P относительно произвольного полюса P (рис. 3.77). Примем, что разности координат между центром изгиба и принятым полюсом z_ци и y_ци. Секторальные площади ω и ω_P связаны соотношением:

ω =ω_P–y_ци (z-z₀)+z_ци (y-y₀)

Подставим первое выражение условий (5):

(6)

Учитывая, что оси y и z – главные и центральные, тогда:

Следовательно, выражение (6) принимает вид:

Аналогичным образом преобразуем втрое выражение условий (5), получим:

В итоге положение центра изгиба определяется соотношениями:

,

Отрезки z_ци и y_ци откладываем в направлении главных осей от полюса P (рис. 3.77).

Очевидно, для тонкостенных сечений с двумя осями симметрии центр изгиба совпадает с центром тяжести сечения и совпадает с точкой пересечения осей симметрии. При наличии одной оси симметрии центр изгиба находится на этой оси.

Для сплошных сечений центр изгиба совпадает с центром тяжести сечения. Это вызвано тем, что при поперечном изгибе балки сплошного сечения касательные напряжения параллельны главной центральной оси совпадающей с плоскостью действия нагрузки и распределены по ширине сечения равномерно.

Пример 3.11

Определить положение центра изгиба для прямоугольного тонкостенного профиля, имеющего разрез в левом нижнем углу (рис. 3.78а). Толщина стенки профиля δ.

Рисунок 3.78

Решение.

1. Главные центральные оси z и y совпадают с осями симметрии сечения.

2. Осевые моменты инерции сечения:

3. Чтобы упростить вычисление секторальных площадей поместим полюс P и начало отсчета в верхнем правом углу сечения (рис. 3.78б). Определим секторальные площади ω_P, а также y и z:

ω_{P 0-1}=0, y=a, z=

ω_{P 1-2}= , y= , z=

ω_{P 0-3}=0, y= , z=

ω_{P 3-2}= , y=-a, z=

Построим эпюры ω_P (рис. 3.78в), z (рис. 3.78г), y (рис.3.78д).

4 Вычислим интегралы и , получим:

5. Определим положение центра изгиба:

,

Рассмотрим другой способ определения центра изгиба. Условие для определения положения центра изгиба сечения также можно записать:

(7)

Это условие означает, что необходимо определить такую точку на плоскости, относительно которой крутящий момент, создаваемый касательными напряжениями, будет равен нулю.

Последовательность определения центра изгиба поперечного сечения в этом случае проследим на примере сечения в форме тонкостенного профиля, приведенного на рис. 3.75а. Главная ось z_c очевидно совпадает с осью симметрии сечения. Следовательно, центр изгиба лежит на оси симметрии. Пусть центр изгиба находится на расстоянии e от вертикальной стенки профиля. На участках профиля заменим касательные напряжения их равнодействующими T (рис. 3.79). Так как сечение симметрично относительно оси z_c, в дальнейшем будем рассматривать только верхнюю часть сечения.

Рисунок 3.79

Условие (7), которое означает равенство нулю крутящего момента относительно центра изгиба, принимает вид:

T_1-2×(2a+e) sin45º- T_2-3×a + T_3-4×e = 0, откуда

(8)

Для определения равнодействующих T используем распределение касательных напряжений по поперечному сечению, которое получено в решении примера 3.10 и представлено на эпюре (рис. 3.75г).

Запишем выражения равнодействующих касательных напряжений T:

Координата центра изгиба:

Пример 3.12

Определить положение центра изгиба e при поперечном изгибе балки с сечением тонкостенного полукольца (рис. 3.80а).

Рисунок 3.80

Решение.

1. Момент инерции сечения (рис. 3.80а):

2. Статический момент отсеченной части (рис 3.80б):

3. Касательные напряжения:

4. Момент касательных напряжений относительно центра изгиба (рис. 3.80б) приравняем нулю:

После преобразований, получим уравнение:

, откуда

Пример 3.13

Определить положение центра изгиба e при поперечном изгибе балки с сечением тонкостенного швеллера (рис. 3.81а).

Рисунок 3.81

Решение.

Представим сечение осевыми линиями (рис. 3.81б). Главная ось z_c очевидно совпадает с осью симметрии сечения. Следовательно, центр изгиба лежит на оси симметрии. Пусть центр изгиба находится на расстоянии e от вертикальной стенки профиля.

1. На участках профиля заменим касательные напряжения их равнодействующими T (рис. 3.81б). Так как сечение симметрично относительно оси z_c, в дальнейшем будем рассматривать только верхнюю часть сечения. Условие равенства нулю крутящего момента относительно центра изгиба, принимает вид:

T_2-3 ×e - T_1-2 ×a =0, откуда

(1)

2. Для определения равнодействующих T вычислим распределение касательных напряжений τ при действии перерезывающей силы Q_y. Касательные напряжения вычислим по формуле:

3. Главный центральный момент инерции сечения I_z (рис. 3.81а):

4. Обозначим потоки касательных усилий на каждом из прямолинейных участков (рис. 3.81б). Направление потока выбираем таким образом, чтобы их направление их суммы совпадало с направлением перерезывающей силы. Пронумеруем характерные точки сечения, в которых происходит перелом средней линии. В пределах каждого из участков введем местную координату t, которой обозначим расстояние от начала участка до текущей точки сечения (рис. 3.81б). В силу симметрии сечения, рассматриваем только верхнюю часть сечения. Запишем выражения статического момента S на участках средней линии сечения и вычислим значения в характерных точках:

5. Запишем выражения τ на участках средней линии и вычислим значения τ в граничных точках:

6. Вычислим равнодействующие T:

7. Подставим в соотношение (1), получим: