Дифференциальное уравнение упругой линии при поперечном изгибе

Рассмотрим изгиб в одной из главных плоскостей (рис. 3.82а).

Рисунок 3.82

Точка лежащая на нейтральной оси балки и отстоящая от начала координат на произвольном расстоянии х переместится в вертикальном направлении на величину у(х). В соответствии с гипотезой плоских сечений (Бернулли) сечение плоское и перпендикулярное к оси балки до деформирования останется плоским и перпендикулярным к оси балки и после деформирования. Следовательно, сечение повернется на угол θ. Проведем касательную к упругой линии балки в точке А, тогда:

,

или в силу малости угла φ:

Из рисунка видно, что φ=θ, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Следовательно:

Существует дифференциальная зависимость между кривизной кривой, выраженной зависимостью у(х), и первой и второй производными от этой функции по х, а именно:

При малых углах поворота сечений величина существенно меньше 1, следовательно:

(1)

Выделим из балки элементарный участок длиной dx и рассмотрим его деформированное состояние (рис. 3.82б). Из рисунка видно, что относительная деформация волокна отстоящего от нейтральной линии на расстоянии у равна:

По закону Гука определим напряжение:

Подставим выражение в интегральную зависимость:

,

откуда кривизна упругой линии также описывается соотношением:

(2)

Приравняем правые части выражений (1) и (2) получим дифференциальное уравнение упругой линии балки при поперечном изгибе:

Проинтегрируем один раз полученное дифференциальное уравнение, получим уравнение углов поворота поперечных сечений:

(3)

Проинтегрируем второй раз, получим уравнение упругой линии балки:

(4)

Постоянные интегрирования C и D определим из граничных условий, учитывающие характер закрепления балки.

Пример 3.14

Для консольной балки постоянного сечения с жесткостью EI_z нагруженной распределенной нагрузкой по всей длине интенсивностью q (рис. 3.83) определить уравнение упругой линии y(x) и уравнение углов поворота поперечных сечений j(x).

Рисунок 3.83

Решение.

Запишем выражение изгибающего момента для сечения с координатой х:

Подставим M_z в соотношение (4). После интегрирования получим выражение прогиба:

Для определения постоянных C и D используем условия, что в защемленном сечении прогиб и угол поворота равны нулю, т.е. граничные условия принимают вид:

при х =a, , у = 0.

Удовлетворим граничным условиям:

Решая уравнения совместно, получим:

Таким образом, уравнение упругой линии:

,

Продифференцируем, получим уравнение углов поворота сечений:

5.7. Энергетический метод определения перемещений Максвелла‑Мора

Кроме способов определения перемещений сечений балок, основанных на интегрировании дифференциального уравнения упругой линии, существуют более удобные для практических целей энергетические методы. Одним из них является способ определения прогибов и углов поворотов сечений при упругих деформациях балок с помощью метода Максвелла-Мора. Этот метод первоначально предложен английским физиком Дж. Максвеллом в 1864 году и позже вторично открыт немецким ученым О.Мором в 1874 году. В дальнейшем метод был развит на общий случай деформаций стержневой системы и стал известен как интеграл Мора. Этот интеграл может быть получен различными путями, и, в частности, исходя из условия равенства работы внешних сил А и потенциальной энергии U, накопленной в деформированной балке.

Для определения потенциальной энергии накопленной в балке при изгибе можно воспользоваться формулой определения потенциальной энергии в единице объема:

U₀ = (1/(2E)) [σ_x² + σ_y²+ σ_z² - 2μ (σ_x σ_y + σ_x σ_z + σ_y σ_z )] + (1/(2G)) (τ_yz² + τ_xy² + τ_xz²

Учитывая, что при плоском прямом изгибе бруса σ_y= σ_z= τ_yz=τ_xz=0, , а также пренебрегая влиянием перерезывающих сил Q_y на прогибы, т.е. полагая, что τ_xy=0, потенциальная энергия в единице объема может быть подсчитана по формуле:

Энергия dU, накапливаемая в элементарном объеме dx×dy×dz=dF×dx,, будет равна:

Энергию U определим как интеграл по длине стержня l и площади сечения F:

Получим интеграл Мора на примере определения прогиба в точке С оси балки, нагруженной некоторой системой внешних поперечных сил и пар. Для упрощения промежуточных выкладок представим всю эту нагрузку одной сосредоточенной силой Р (рис. 3.84а). Обозначим через δ_PP прогиб балки в точке приложения силы Р, а через δ_CP ‑искомый прогиб от этой силы в точке С.

Рисунок 3.84

Так как прогиб балки δ линейно зависит от величины силы Р при её статическом приложении, то сила произведет работу:

Потенциальная энергия деформации балки (рис. 3.84а):

Составляя баланс энергий A=U для первого состояния балки, получаем:

Поступим далее следующим образом. Снимем с балки всю заданную нагрузку и приложим статически в сечении С в направлении искомого прогиба вспомогательную безразмерную единичную силу. От этой единичной нагрузки в сечениях балки возникнут изгибающие моменты M_z`, а точка C в процессе деформации балки пройдет путь δ_C1 (рис. 3.84б). Баланс энергий во втором состоянии балки запишется так:

Рассмотрим третье состояние, когда к балке, уже нагруженной вспомогательной единичной силой, прикладывается еще и заданная нагрузка Р (рис. 3.84в). Эта нагрузка вызовет дополнительные деформации балки, причем согласно принципу независимости действия сил дополнительные прогибы будут такими же, как и в первом из рассмотренных состояний балки, когда она нагружена только силой Р. Поэтому работа внешних сил, если подсчитывать ее в последовательности их приложения,

У последнего слагаемого множитель 1/2 отсутствует потому, что к моменту приложения заданной нагрузки единичная сила достигла уже своего конечного значения и в процессе перемещения δ_CP величины своей не изменяет.

Изгибающие моменты в сечениях балки в ее третьем состоянии равны суммам изгибающих моментов M_z от заданных нагрузок и M_z` от единичной силы, а потенциальная энергия деформации:

Баланс энергий в третьем состоянии

Учитывая выражениядля балансов энергий в первом и втором состояниях, получаем

(1)

Задача определения угла поворота сечения С приводит к тому же выражению (1). Отличие заключается в том, что в этом случае в сечении С надо прикладывать в направлении искомого углового перемещения единичный момент, а под δ_CP понимать угол поворота сечения в радианах.

В выражении (1) интеграл должен быть распространен на всю длину балки. Если балка имеет п участков с различными аналитическими выражениями для изгибающих моментов M_z(x) и M_z`(x), то в правой части будет стоять сумма интегралов по всем п участкам.

Итак, прогибы и углы поворотов сечений балок могут быть найдены из равенства, называемого интегралом Мора:

,

где M_z - изгибающий момент в текущем сечении балки от заданной нагрузки; M_z` - изгибающий момент в том же сечении от единичной силы, если ищется прогиб, и единичного момента, если ищется угол поворота сечения.

Для определения M_z´ надо снять с балки заданную нагрузку (но не удалять опоры) и приложить в том сечении, перемещение которого ищется, в направлении этого перемещения единичную силу или пару. Моменты M_z(x) и M_z´ надо подставлять в интеграл Мора с их знаками. Положительный знак в окончательном выражении означает, что сечение перемещается по направлению приложенной единичной нагрузки, а отрицательный знак показывает, что перемещение происходит в противоположном направлении.

Пример 3.15

Для консольной балки постоянного сечения с жесткостью EI_z нагруженной распределенной нагрузкой по всей длине интенсивностью q (рис. 3.85а) определить прогиб и угол поворота сечения в точке С.

Рисунок 3.85

Решение.

1. Для вычисления прогиба δ_c в точке С запишем интеграл Мора:

Запишем выражение изгибающего момента для сечения с координатой х:

Прикладываем единичную силу в точке С (рис. 3.85б).

Изгибающий момент от единичной нагрузки в сечении на расстоянии х от свободного края:

Подставим в интеграл Мора, получим искомое перемещение:

2. Для вычисления угла поворота сечения φ_c в точке С запишем интеграл Мора:

Выражение изгибающего момента для сечения с координатой х сохраниться таким же, как и для определения прогиба:

Прикладываем единичный момент в точке С (рис. 3.85в).

Изгибающий момент от единичной нагрузки в сечении на расстоянии х от свободного края:

Подставим в интеграл Мора, получим искомое перемещение:

Отрицательный знак указывает на то, что сечение в точке С поворачивается в направлении противоположном направлению единичного момента.