Нормальные и касательные напряжения при поперечном изгибе бруса. Формула Журавского

При поперечном изгибе балки в сечениях возникают изгибающие моменты M_z и перерезывающие силы Q_y. Изгибающий момент в сечении M_z вызван действием нормальных напряжений , а перерезывающая сила Q_y является равнодействующей касательных напряжений (рис. 3.67).

Рисунок 3.67

Возникновение касательных напряжений τ сопровождается появлением угловых деформаций γ. Касательные напряжения распределены по сечению неравномерно, поэтому неравномерно будут распределены и угловые смещения. Это означает, что при поперечном изгибе в отличие от чистого изгиба поперечные сечения не остаются плоскими. Второй особенностью поперечного изгиба является наличие нормальных напряжений, возникающие в продольных сечениях бруса, т.е. напряжения «надавливания» между слоями. Однако анализ показывает, что для бруса, у которого длина l существенно больше характерного размера поперечного сечения h (l/h≥5), для определения нормальных напряжений можно использовать формулы, полученные для чистого изгиба:

, ,

Для определения касательных напряжений выделим из балки элементарный участок двумя поперечными сечениями на расстоянии dx друг от друга (рис.3.68а).

Рисунок. 3.68

При поперечном изгибе моменты, возникающие в левом и правом сечениях, отличаются друг от друга на величину dM. Продольным сечением, проведенным на расстоянии y от нейтрального слоя, отсечем верхнюю часть (рис. 3.68б). Предположим, что касательные напряжения распределены по ширине сечения равномерно и направлены параллельно перерезывающей силе Q_y. Запишем уравнение равновесия для отсеченной части (рис. 3.68г):

Σx= (N+dN)^отс–N^отс+τ_yx×dx×b(y) = 0 (1)

Равнодействующая N^отс нормальных напряжений σ×dF в левом сечении в пределах отсеченной части равна:

Равнодействующая (N+dN)^отс нормальных напряжений (σ+dσ)×dF в правом сечении в пределах отсеченной части равна:

Подставим в уравнение (1) и после преобразований получим:

(2)

Нормальные напряжения определяются формулой , следовательно:

Подставим полученное выражение в соотношение (2), получим формулу определения касательных напряжений в сечении балки при поперечном изгибе:

Формулу называют формулой Журавского, по имени русского ученого, впервые выполнившим исследование касательных напряжений при поперечном изгибе. В приведенной формуле статический момент отсеченной части сечений S_z^отс и момент инерции сечения I_z вычисляют относительно оси z_c, которая является главной центральной осью сечения. Следует отметить, что формула Журавского позволяет определить только вертикальную составляющую касательных напряжений τ_xy, направленную вдоль перерезывающей силы Q_y.

Пример 3.9

Для поперечных сечений прямоугольной, круглой, треугольной и составной формы, которые нагружены перерезывающей силой Q_y, определить и построить эпюры вертикальной составляющей касательных напряжений.

Решение.

1. Прямоугольное сечение.

Касательные напряжения определим по формуле Журавского .

Для определения S_z^отс и I_z выделим элементарный участок шириной dy на расстоянии y от главной центральной оси z_c (рис. 3.69а).

Рисунок 3.69

Статический момент отсеченной части S_z^отс:

Момент инерции сечения I_z:

Следовательно, вертикальная составляющая касательных напряжений τ_xy равна:

Касательные напряжения распределены по высоте сечения по параболическому закону (рис.3.70б). Максимальное значение достигается на оси z_c:

2. Круглое сечение.

Для вычисления касательных напряжений по формуле Журавского выделим элементарный участок шириной dy на расстоянии y от главной центральной оси z_c (рис. 3.70а) и определим S_z^отс и I_z.

Рисунок 3.70

Статический момент отсеченной части S_z^отс:

, (1)

Учитывая, что , , , то выражение (1), приобретает вид:

(2)

Момент инерции сечения I_z:

(3)

Следовательно, вертикальная составляющая касательных напряжений τ_xy равна:

Касательные напряжения распределены по высоте сечения по параболическому закону (рис.3.70б). Максимальное значение достигается на оси z_c: