Нормальные напряжения при чистом изгибе бруса

Рассмотрим нагруженность поперечного сечения бруса подверженного действию чистого изгиба. В этом случае в поперечном сечении возникает только изгибающий момент M_z, который является суммой моментов, вызванных нормальными элементарными силами s dF относительно нейтральной линии (рис. 3.63):

(1)

Рисунок 3.63

Для определения закона распределения нормальных напряжений по поперечному сечению примем следующие допущения.

1. Справедлива гипотеза Бернулли, т.е. сечения плоские и перпендикулярные к оси бруса до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными к оси бруса и после деформации.

2. Выполняется гипотеза о не надавливании продольных волокон друг на друга.

3. По ширине сечения напряжения постоянны.

Принятые гипотезы подтверждаются следующим экспериментом. Нанесем на поверхность бруса сетку продольных и поперечных линий. Нагрузим брус изгибающим моментом (рис. 3.64).

Рисунок 3.64

Продольные линии искривятся. Продольные волокна на выпуклой стороне испытывают растяжение, а на вогнутой стороне сжатие. Между сжатыми и растянутыми волокнами существует слой волокон, который искривляется, но его первоначальная длина не изменяется. Этот слой называют нейтральным. Линия пересечения нейтрального слоя с поперечным сечением называют нейтральной линией сечения. Поперечные линии не искривляются, а только поворачиваются, но остаются перпендикулярными продольным линиям. Это подтверждает гипотезу плоских сечений. Так как расстояние между продольными линиями остается без изменений этим подтверждается гипотеза о ненадавливаемости волокон.

Рассмотрим деформирование элемента бруса длиной dx (рис. 3.65).

Рисунок 3.65

В результате поворота левого сечения относительно правого на угол dθ верхние слои сечения удлиняться, а нижние укоротятся. Очевидно, существует нейтральный слой, который не удлиняется, а только искривляется. Кривизна нейтрального слоя будет следующая:

Относительное удлинение волокна на расстоянии y от нейтрального слоя:

Гипотеза о ненадавливаемости волокон позволяет предположить, что волокно находится в условии одноосного напряженного состояния, следовательно, справедлив закон Гука:

(2)

Таким образом, при чистом изгибе нормальные напряжения по поперечному сечению распределены по линейному закону. Подставим полученное выражение в соотношение (1), получим:

откуда кривизна нейтрального слоя балки:

(3)

Подставим выражение (3) в соотношение (2), получим формулу для определения нормальных напряжений при чистом изгибе:

Максимальные напряжения возникают в точках наиболее удаленных от нейтральной оси:

Отношение называют моментом сопротивления сечения и обозначают W_z:

Таким образом:

Определим положение нейтрального слоя. Для этого рассмотрим условие о том, что при чистом изгибе нормальное усилие в поперечном сечении равно нулю:

Так как не равно нулю, то:

Учитывая, что статический момент сечения равен нулю относительно оси, проходящей через центр его тяжести, то можно заключить, что нейтральный слой проходит через центр тяжести сечения и совпадает с центральной осью.

Рассмотрим теперь условие о том, что при чистом изгибе изгибающий момент M_y от внутренних усилий в поперечном сечении относительно оси у также равен нулю:

Откуда центробежный момент инерции сечения:

I_zy = 0

Таким образом, для выполнения уравнения M_y =0 необходимо, чтобы центробежный момент инерции I_zy был равен нулю относительно выбранных центральных осей y и z. Это возможно в том случае если оси y и z являются главными центральными осями инерции сечения.

Итак, полученные формулы определения нормальных напряжений и , а также кривизны нейтрального слоя справедливы для балки произвольного поперечного сечения, если только оси z и y являются главными центральными осями инерции сечения, а внешняя нагрузка действует в плоскости содержащей ось стержня и одну из главных центральных осей сечения.

Формула является основной при расчете на прочность бруса при изгибе. Для бруса прямоугольного сечения со сторонами b и h:

Для бруса круглого сечения диаметра D:

Таким образом, напряжения при изгибе обратно пропорциональны третьей степени линейных размеров сечения. Очевидно, что наиболее экономичными являются такие формы поперечных сечений, для которых при наименьшей площади сечения достигается наибольшая величина момента сопротивления сечения W_z. Очевидно, это возможно при удалении площади сечения подальше от нейтральной оси. Поэтому рациональными являются брусья с тонкостенными сечениями в форме двутавра или швеллера.

Пример 3.8

На рисунке 3.66 приведены схемы различных сечений балки, которая изгибается моментом M_z =36 кНм. Подобрать размеры b и h этих сечений при максимальном напряжении σ_max =120 МПа. Сравнить площади сечений в процентах по отношению к наименьшей площади. Принять b/h =0,75.

Рисунок 3.66

Решение.

Размеры сечений определим из условия достижения максимального напряжения при изгибе балки:

, откуда

1. Для прямоугольного сечения 1:

, откуда

h =14,7 см

Площадь сечения: F₁ = 0,75h² = 0,75 14,7² = 162,9 см²

2. Для прямоугольного сечения 2:

, откуда

h =13,4 см

Площадь сечения: F₂ = 0,75h² =0,75×13,4² = 134,7 см²

3. Для круглого сечения 3:

, откуда

h =14,4 см

Площадь сечения: F₃ = π(h/2)² =3,14×7,2² = 162,8 см²

4. Для кольцевого сечения 4:

, откуда

h =17,3 см

Площадь сечения: F₄ = π(h/2)²×(1-0,75²) =3,14×8,65² × (1-0,75²)= 102,8 см²

5. Для тонкостенного квадратного сечения 5:

, откуда

h =14,6 см

Площадь сечения: F₅ = (1-0,75²)×h² =(1-0,75²)×14,6² = 93,5 см²

6. Для двутаврового сечения 6:

, откуда

h =17 см

Площадь сечения: F₆ = 2×0,75×0,1×h² =2×0,75×0,1×17²= 43 см²

9. Вычислим отношения площадей сечений:

F₁/F₆ =162,9/43=3,8 F₂/F₆ =134,7/43=3,1 F₃/F₆ =162,8/43=3,8

F₄/F₆ =102,8/43=2,4 F₅/F₆ =93,5/43=2,2

Следовательно, наиболее рациональным является двутавровое сечение 6 (рис. 3.66).