Задачи для самостоятельного решения. · Задача 6.1.Груз массой m1, спускаясь по гладкой неподвижной наклонной плоскости, образующей угол a с горизонтом

Рис. 50

· Задача 6.1. Груз массой m₁, спускаясь по гладкой неподвижной наклонной плоскости, образующей угол a с горизонтом, приводит в движение посредством невесомой и нерастяжимой нити идеальный блок A, имеющий массу m₃ и радиус r (рисунок 50). Определить угловое ускорение b блока, считая его сплошным диском. Масса второго груза равна m₂.

Ответ: b = .

Рис. 51

· Задача 6.2. Частица A массой m₁ движется по гладкой горизонтальной плоскости. Посредством нерастяжимой нити, пропущенной через отверстие O в плоскости, частица A связана с грузом B массой m₂, движущимся вертикально. Составить уравнения движения системы, приняв за обобщенные координаты r и j (рис. 51).

Ответ:

(m₁ + m₂) – m₁ r ² = – m₂ g; (m₁ r² ) = 0.

· Задача 6.3. Изображенный на рисунке 18 суммирующий механизм состоит из зубчатого колеса и двух реек. Колесо имеет радиус r и массу m, которую можно считать распределенной по ободу. Масса каждой рейки равна m₁. К одной рейке приложена сила , к другой – ; силы направлены в противоположные стороны вдоль реек. Найти угловое ускорение b, ускорение w₀ оси колеса, а также ускорения w₁ и w₂ реек.

Ответы: w₀ = ; b = ;

w₁ = ; w₂ = .

· Задача 6.4. Решить задачу 6.3 в предположении, что силы направлены в одну сторону.

Ответы: w₀ = , b = ,

w₁ = , w₂ = .

Рис. 52

Рис. 53

· Задача 6.5. На рисунке 52 изображена фрикционная передача. К ведущему колесу O₁ приложен вращающий момент M₁, а на колеса O₂ и O₃ действуют моменты сопротивления M₂ и M₃. Найти угловое ускорение b ведущего колеса, считая колеса сплошными однородными дисками, массы которых равны m₁, m₂, и m₃, а радиусы – r₁, r₂ и r₃.

Ответ: b = .

· Задача 6.6. Два груза массами m₁ и m₂ связаны невесомой нерастяжимой нитью, переброшенной через неподвижный блок массой m (рис.53). Считая блок сплошным однородным цилиндром и пренебрегая трением, найти ускорения ₁ и ₂ грузов.

Ответ: ₁ = – ₂ = 2 (m₁ – m₂) / (m + 2 (m₁ + m₂)).

· Задача 6.7. Каток A массой m₁, скатываясь без скольжения по наклонной плоскости, поднимает посредством нерастяжимой нити, перекинутой через блок B, груз C массой m₂ (рис. 54). При этом блок B вращается вокруг неподвижной оси O. Каток А и блок B – однородные диски одинаковой массы и радиуса. Наклонная плоскость образует угол a с горизонтом. Определить ускорение w оси катка.

Рис. 54

Ответ: w = g (m₁ sin a – m₂) / (2 m₁ + m₂).

Рис. 55

· Задача 6.8. Тележка скатывается без скольжения по наклонной плоскости, образующей угол a с горизонтом (рис. 55). Масса тележки без колес равна M. Масса всех колес – m. Считая колеса однородными сплошными дисками и пренебрегая сопротивлением, определить ускорение w тележки.

Ответ: w = 2 g (M + m) sin a / (2 M + 3 m).

· Задача 6.9. К ведущему шкиву 1 ременной передачи, изображенной на рис. 56, приложен вращающий момент M, а на ведомый шкив 2 действует момент сопротивления M_С. Натяжение ремня обеспечивается роликом 3. Момент инерции ролика равен J, а его радиус – r. Моменты инерции и радиусы шкивов равны, соответственно,

Рис. 56

J₁ = 10 J, J₂ = 5 J, R₁ = 6 r, R₂ = 3 r.

Массой ремня можно пренебречь. Определить ускорение b ведущего шкива.

Ответ: b = (M – 2 M_c) / (66 J).

· Задача 6.10. Передача между валами осуществляется двумя насаженными на них колесами, имеющими z₁ и z₂ зубцов. Моменты инерции валов с колесами соответственно равны J₁ и J₂. К первому валу приложен вращающий момент M, а на второй действует момент сопротивления M_C. Определить угловое ускорение b первого вала.

Ответ: b = (M – M_C z₁ / z₂) / (J₂ (z₁ / z₂)² + J₁).

Рис. 57

· Задача 6.11. На гладкой горизонтальной плоскости находится доска массой m₁, а на доске – тонкостенный цилиндр массой m₂ (рис. 57). Предполагая, что скольжение между цилиндром и доской отсутствует, определить ускорения w₁ и w₂ доски цилиндра соответственно, если к доске приложена сила F.

Ответы: w₁ = 2 F / (2 m₁ + m₂),

w₂ = F / (2 m₁ + m₂).