Энергия. Закон сохранения механической энергии

Рис. 58

«Пример 7.1. По двум параллельным горизонтальным рейкам катится без скольжения тонкостенный цилиндр массой M при помощи груза, подвешенного на нити, намотанной на цилиндр (рис. 58). Определить скорость v оси цилиндра в момент, когда груз опустится на расстояние h, если масса груза равна m, а система в начальный момент времени находилась в покое. Во все время движения нить с помощью специального устройства удерживается вертикальной.

Решение.

Поскольку в задаче идет речь о двух положениях груза, целесообразно применить закон изменения механической энергии в интегральной форме:

E₂ – E₁ = A', (7.1)

где A' – работа сил, не учитываемых функцией Лагранжа.

Будем применять этот закон к системе «груз – цилиндр – Земля» для двух состояний  и ‚, показанных на рисунке 58. Тогда, пользуясь школьной терминологией, A' = A_Н + A, то есть работа A' равна сумме работ внутренних непотенциальных (A_Н) и внешних (A) сил. В рассматриваемой системе непотенциальных сил нет, а A = 0, так как единственная внешняя сила – сила нормальной реакции – перпендикулярна перемещению цилиндра. Итак, A' = 0.

Механическая энергия E системы складывается из кинетической и потенциальной энергий. Примем исходное состояние  в качестве нулевого, то есть положим потенциальную энергию в этом состоянии равной нулю. Тогда E₁ = 0,

E₂ = m v_ГЗ² / 2 + M v² / 2 + J w² / 2 – m g h. (7.2)

В формуле (7.2) кинетическая энергия цилиндра записана по теореме Кенига. v – скорость оси цилиндра относительно Земли, w – угловая скорость цилиндра, J – его момент инерции. Для тонкостенного цилиндра радиуса R момент инерции J = M R². Угловая скорость w цилиндра связана со скоростью v формулой Эйлера. Учитывая, что цилиндр поворачивается вокруг мгновенной оси C (рис.58), эта формула дает

v = w R. (7.3)

Соотношение (7.1) справедливо в инерциальной системе отсчета. Поэтому в (7.2) входят скорости относительно Земли. Скорость v_ГЗ груза относительно Земли выразим по закону сложения скоростей:

_ГЗ = _ГЦ + _ЦЗ = + _ГЦ, (7.4)

где _ГЦ – скорость груза относительно оси цилиндра. Соответствующий векторный треугольник изображен на рисунке 58.

Скорость _ГЦ равна скорости примыкающих к нити точек цилиндра, если нить не проскальзывает. По формуле Эйлера эту скорость можно выразить так:

v_ГЦ = w R, (7.5)

имея в виду вращение вокруг оси O (рис.58).

Складывая (7.3) и (7.5), видим, что слагаемые в формуле (7.4) равны по модулю, и, следовательно, соответствующий векторный треугольник не только прямоугольный, но и равнобедренный. Поэтому

v_ГЗ = v . (7.6)

Подставив в (7.2) соотношения (7.3) и (7.6), получим из (7.1)

v = .