Уравнения Лагранжа. « Пример 6.1. В планетарном механизме, изображенном на рис

«Пример 6.1. В планетарном механизме, изображенном на рис. 48, колесо с осью O₁ неподвижно; к рукоятке O₁O₃ приложен вращающий момент M. Механизм расположен в горизонтальной плоскости. Колеса поворачиваются относительно рукоятки без трения и не проскальзывают друг относительно друга. Определить угловое ускорение b рукоятки, считая колеса однородными дисками с одинаковыми радиусами r и массами m. Массой рукоятки можно пренебречь.

Решение.

Непосредственно применять законы Ньютона или принцип виртуальных перемещений не представляется возможным, поскольку механизм состоит из бесконечного множества частиц. Зато у него всего одна степень свободы, и поэтому достаточно решить единственное уравнение Лагранжа

– = Q'. (6.1)

В качестве обобщенной координаты q выберем угол j поворота рычага, то есть q:= j. Обобщенная сила Q', соответствующая углу поворота j, представляет собой указанный в задаче вращающий момент M.

Выразим функцию Лагранжа L = T – U через обобщенную координату j и обобщенную скорость . Потенциальная функция не зависит от j, так как рукоятка вращается в горизонтальной плоскости. Кинетическая энергия механизма находится с помощью теоремы Кенига:

T = J w ₂² / 2 + m v₂² / 2 + m v₃² / 2 + J w ₃² / 2. (6.2)

Скорость v₂ точки O₂ можно выразить по формуле Эйлера через угловую скорость рычага, а также через угловую скорость второго колеса, для которого точки касания с первым являются мгновенной осью вращения:

v₂ = 2 r = w₂ r, следовательно,

v₂ = 2 r и w₂ = 2 . (6.3)

Скорость v₃ точки O₃ можно по формуле Эйлера выразить через угловую скорость рычага:

v₃ = 4 r. (6.4)

Для нахождения w₃ выразим с помощью теоремы Шаля скорость v₃ через скорость v точек касания второго и третьего колес:

v₃ = v + w₃ r. (6.5)

Скорость v может быть выражена по формуле Эйлера через угловую скорость w₂ вращения второго колеса:

v = w₂ 2 r = 4 r. (6.6)

Равенства (6.4) – (6.6) приводят к уравнению

4 r = 4 r + w₃ r. Отсюда следует, что w₃ = 0.

Подставляя в (6.2) найденные значения скоростей, а также выражение для момента инерции колес J = m r² / 2, получим

L = T = 11 m r^{2 2}. (6.7)

С функцией (6.7) уравнение Лагранжа (6.1) принимает вид

22 m r² = M.

Из этого уравнения находим ответ: b = = M / (22 m r²).

«Пример 6.2. На гладкой горизонтальной плоскости находится треугольная призма ABC (рис. 49) массой M. На грань призмы AB, наклоненную к горизонту под углом a, поместили однородный круглый цилиндр массой m как показано на рисунке 49. С каким ускорением w станет двигаться призма?

Решение.

Рассматриваемая в задаче система имеет две степени свободы, поэтому нужно составлять два уравнения Лагранжа вида (6.1). В качестве обобщенных координат выберем расстояние x, на которое перемещается призма за время t, и угол j, на который одновременно поворачивается цилиндр. Через эти переменные должна быть выражена функция Лагранжа L = T – U.

Кинетическая энергия системы T складывается из кинетической энергии призмы и кинетической энергии цилиндра. Последняя находится по теореме Кенига:

T = M ² / 2 + m v² / 2 + J ² / 2. (6.8)

Здесь J = m r² / 2, где r – радиус цилиндра, v – скорость центра цилиндра относительно Земли. Эту скорость нужно находить по закону сложения скоростей: = _ЦЗ = _ЦП + _ПЗ, где _ЦП – скорость центра цилиндра относительно призмы, а _ЦЗ – скорость призмы относительно Земли. Соответствующий векторный треугольник изображен на рисунке 49. Скорость призмы v_ПЗ = , а скорость v_ЦП = r. Поэтому

v² = ² + ² r² – 2 r cos a. (6.9)

Потенциальная функция U (потенциальная энергия системы «цилиндр – призма – Земля») равна работе силы тяжести при переходе цилиндра в исходное состояние, принятое за нулевое:

U = – m g h = – m g j r sin a. (6.10)

Подставляя (6.9) в (6.8) и учитывая (6.10), получим

L = (m + M) ² / 2 + m (3 ² r² / 4 – r cos a) + m g j r sin a. (6.11)

Функция (6.11) приводит к следующим двум уравнениям Лагранжа:

(m + M) – m r cos a = 0, (6.12)

3 r² / 2 – r cos a = g r sin a. (6.13)

Исключая из (6.12) и (6.13) , получим ответ:

w = = m g sin (2a) / (3 (m + M) – 2 m cos²).