Движение плоскости

О: наз-ся такое отобр-е пл-ти на себя, при кот. сох-ся расст-е м/у 2-мя т-ми этой пл-ти.

f – движение

М ® M’, N ® N’, ½M’N’½=½MN½

Св-ва:

При движ-ии сохрся св-во т-ки лежать м/у.

A/BC Þ A’/B’C’

½AB½+½AC½=½BC½Þ½A’B’½+½A’C’½=½B’C’½Þ A’/B’C’

Отр-к преобр-ся в отрезок; Пр-я ® прямая; Луч ® луч; Угол в равный угол.

Задание движ-я 2-мя прямоуг-ми реперами.

в R

в R’

Аналит-ое выраж-е движ-я.

e=±1(в зависимости от ориентации репера)

M(x, y), M’(x’, y’), a – угол (х, x’), O’(a, b)

Частные виды движений.

I. e = 1 – собственные движения

1.

– параллельный перенос

– вектор переноса. Обозн-ся

2. Тождественное преобразование

3. Поворот вокруг т. О на угол a.()

Центр. симметрия ()

II. e = -1 – несобственные движения

1. a = 0, а =0, b = 0

.

– симметрия относ-но Ох (S_x)

2.

симм-я отн-но Оу (S_y)

3.

скользящая симм-я отн-но Ох.

4

скользящая симм-я отн-но Оу.

Теорема. 1). Всякое собств-ое движ-е отличное от тождест-го есть либо //-й перенос, либо поворот. 2) Всякое несобст-ое дв-е есть произведение собств-го дв-я на осевую симм-ю.

Мн-во всех движений пл-ти обр-ет группу.

R(O ,x,y), R’(O’ ,x’,y’),

M(x,y)_R, M’(x’,y’)_R’.

Для док-ва этого надо док-ть:

если g₁ и g₂ – дв-е, то и g₁×g₂ –дв-е.

Док-во: Есть третий репер, где M’’(x’’,y’’)_R’’

g₁: M®M’; g₂: M’®M’’; g₁×g₂: M®M’’ Þ g₁×g₂ – дв-е.

если g – дв-е, то и g^-1 (вытекает из определения).

Применение к решению задач:

Пр-ти от-к с кон-ми на стор-х Ð так, чт. в т. М он делился попалам.

1. Z_M: a® a’

2. B=bÇ a’

3. Z_M(B) = A

Дан угол и т. А. Построить тр-к АВС, чтобы т-ки В и С лежали на стороне угла и тр-к АВС имел наеньший периметр.

½А’A’’½– наим-й

½A’A’’½=½Ab½+½BC½+½AC½.