Система аксиом плоскости Лобачевского

23.02.1862 – доклад о принципах геом-ии со строгим док-вом теории //-х прямых. «Воображаемая геом-я» или пангеом-я. 1832 – опубликована. Лобач (1792-1856). Основа – акс-ка Гильберта евкл. геом-ии, кроме акс.//-ти.

IV* - акс.//-ти Лоб.: Через точку, не лежащую на прямой в пл-ти, проходит по кр. мере 2 прямые, не Ç-ся с дан. прямой.

Т: Ч/з точку, не лежащую на прямой, проходит беск. много прямых, не Ç-ся с дан. прямой.

[b^c] сод-т беск. много лучей, мн-во точек лучей непр-но, разбиваем на 2 класса: (К¢,К¢¢), К¢- лучи, кот. Ç пр.а, К¢¢- не Ç. 1°классы не пусты сÎК¢, bÎК¢¢ 2° m<n, т.к M<N, К¢<К¢¢ (порядок следования)

Все прямые, сод-щие А, кот. нах-ся в (u^v_) и (v^u_), не Ç-т пр.а и наз-ся расходящимися b)(a.

Сл-е Признак //-ти: u//а Û 1. uÇa=Æ, 2. для "луча mÎ(c^u), mÇa¹Æ, u – первый луч не Ç-ший а.

Сл-е: Ч/з точку, не леж. на пр., прох-т единст. прямая //-я дан. прямой в дан. напр-нии.

Модель Кели-Клейна. {A,W}- не зависит Û {неA,W}- непротиворечива. {IV*,W}- акс-ка Лоб-го. IV (акс.// Евклида) не зав-т от W.

Точки Лоб-го – внутр. точки пл-ти относ. овала. Прямые Лоб-го – хорды овала без концов. Инцидентность, «лежать м/у» понимаем как раньше. f-дв-ние – это проект. преобр-ние f: k®k.

I акс. соединения (геом. пл-ть строится на 1,5,6)

1. $!а ' М,N –вып-ся, т.к. $! хорда а ' М,N. 5. "а, $ по кр. мере M¹N –вып-ся на "хорде $ 2 разл. точки. 6. $ по кр. мере 3 некол. точки – вып-ся

II акс. распол-ния

1. С/АВÞС/ВА. 2. "А¹В, $С: С/АВ, $D: B/AD. 3. из трех точек 1 и только 1 лежит м/у двумя др. 4. Акс.Паша: если прямая не проходит ни ч/з 1 из дан. точек и Ç-т один из 3-х отрезков с концами в этих точках, то она Ç-т 1 и только 1 из двух оставшихся отрезков. Все акс-мы вып-ся, т.к. хорда – это отрезок.

III. Акс. дв-ния

1. При дв-нии т®т, пр®пр, т.к. при проект. пр-нии внутр.т®внутр.т., хорда®хорду. 2. сохр-ся инцидент-ть точки прямой, т.к. при проект. пр-нии сохр-ся. 3. сохр-ся «лежать м/у», т.к. при проект. пр-нии сохр-ся порядок точек на пр. 4. произв-е двух дв-ний – дв-ние, т.к. произ-е двух дв-й, сохр-щее k, есть проект. пр-ние, сохр-щее k. 5. преобр-е обратное дв-нию – дв-ние. 6. для двух реперов $! дв-е: 1 репер ® 2 репер, т.е $!f: (a, A,a+) ®(a¢, A¢,a+¢). 7. если дв-ние сохр-т ориент. прямую и точку на ней, то сохр-т и кажд. точку на ней, f: a®a, A®A¢Þ"BÎa: B®B. 8. для двух разл. точек $дв-ние транспонирующее их. 9. для двух Ç-хся прямых $ дв-ние транспонирующее их.

IV*. Акс. //-ти Лоб-го: $ по кр. мере 2 прямые, не Ç-е пр.а

M,NÏa, a={x, x¹M, x¹N}, xÎ(MN), mÇa=Æ, nÇa=Æ, $m,n – искомые

V. Акс. непр-ти: " дедекиндово сечение мн-ва М им. 1 и только 1 гранич.эл-т. вып- ся, т.к. мн-во точек отрезкаб интервала непр-но.

Геом-я пл-ти Лоб-го непротив-ва, если непрот-ва акс-ка проект. пл-ти, кот. непротив-ва, если непрот-ва акс-ка веществ. чисел. Аксиома IV* не зависит от {I,II,III,V}.