Кольцо

О мн-во с 2 бинар-ми опер-ми наз-ся кольцом, если по первой операции оно образ абелеву группу, по второй – подгруппу и операции связаны дистрибутивным законом.

Пр: <Z,+,*>;<Q,+,*>;<R,+,*>;<C,+,*> - коммут-ое кольцо с 1 без делителей 0; <{E_n},+,*> - коммут-ое кольцо без 1, без делителей 0: <мн-во кв-х матриц,+,*> - некоммут-ое кольцо, есть делитель ноля:

Делители ноля имеются и в кольце вычетов по данному составному модулю. Кольцо вычетов по данному модулю явл. примером конечного кольца. Кольцо образует мн-тво многочленов относительно обычных операций + и *.

Св-ва: 1⁰ выполняются все св-ва абелевой группы, единственность нулевого и противоположного элементов. Док-ся однозначность разрешимости уравнения a+x=b,

2⁰ (a-b)c=ac-bc. Док-во:

(a+(-b))c=ac+(-b)c, (a+(b-b))c=ac, ((a-b)+b)c=(a-b)c+bc, (a-b)c+bc=ac, (a-b)c=ac-bc.

3⁰ 0*a=0 д-во: (b-b)a=ba-ba=0.

4⁰ (-a)b=-ab: (0-a)b=0b-ab=0-ab=-ab.

Опр: непустое подмнож-во H кольца К явл. его подкольцом, если оно само образ-т кольцо относит-но операций, определенных в кольце К.

Т: непустое подмнож-во Н кольца К явл-ся его подгруппой ó (1) "a,bÎH,a+bÎH, Н замкнуто относит-но + (2) "aÎH,-aÎH (3) "a,bÎH,abÎH

Д-во: 1. необход-ть. Дано: непустое Н, НÌК, К-кольцо, Н-подкольцо. Док-ть: (1),(2),(3). Необход-ть следует из опред-я подкольца, т.к. Н-подкольцо, то по опред-ю оно само явл. подкольцом относит-но + и *, следоват-но, вып-ся (1),(2),(3).

2. достаточность. Дано: К-кольцо, непустое Н, НÌК, выполняются (1),(2),(3). Док-ть: Н подкольцо К.

I. <H,+>-абелева группа 1) выполнимость следует из (1) 2),3) т.к. операция + коммутативна и ассоциативна в К, то для любого его подмнож-ва она асс. и коммутат-на. 4) "aÎH,-aÎH по (1), a+(-a)ÎH, a+(-a)=0ÎH => 0ÎH. 5) противопол-ый эл-т гарантируется по (2). Т.о. <H,+> - аддитивная абелева группа.

II. <H,*> - подгруппа. По (3) «*» вып-ся и однозначна в Н. Т.к. «*» ассоциативна в К, то она асс. и в любом своем подмнож-ве. Все требования выполнены.

III. Дистрибутивные законы. Т.к. они вып-ся во всем множ-ве, то и выполняются на его подмн. Н ¨ Пример: <Q,+,*> - подкольцо <R,+,*>

Опр: Кольца К1 и К2 наз. гомоморфичными, если $j:K1->K2: отображение, сохраняющее операции: <K1,(+),(*)>, <K2,+,*>. "a,bÎK1: j(a(+)b)= j(a)+j(b), j(a(*)b)= j(a)*j(b). Если j - взаимооднозначное, то кольца наз. изоморфными. Пример:

Т: Изоморфным образом кольца явл. кольцо. Дано: K1=<K1,(+),(*)> - кольцо, K2=<K2,+,*>. K1@K2. Доказать: <K2,+,*>-кольцо.

Д-во: <K2,+>-абелева группа, т.к. изоморфный образ группы есть группа. <K2,*>-полугруппа. Покажем, что в K2 вып-ся дистриб-й з-н. "a₂,b₂,c₂ÎK₂ (a2+b2)c2=a2c2+b2c2. Т.к. K1@K2, то $a₁,b₁,c₁ÎK1 также $j(a₁)=a₂, j(b₁)=b₂, j(c₁)=c₂, т.к. К1-кольцо, то (a₁+b₁)c₁=a₁c₁+b₁c₁, j[(a₁+b₁)c₁]=j(a₁+b₁)j(c₁)=(j(a₁)+j(b₁))j(c₁). j[(a₁+b₁)c₁]=j(a₁c₁+b₁c₁)=j(a₁)j(c₁)+j(b₁)j(c₁). Левые части равны => приравниваем правые.

(j(a₁)+j(b₁))j(c₁)=j(a₁)j(c₁)+j(b₁)j(c₁), (a₁+b₁)c₁=a₁c₁+b₁c₁. ¨ Аналог-но доказ-ся левый дистрибут-й з-н.