Предел функции в точке и на бесконечности

Число А наз. пред. ф-ии f(x) в точ. а если для скол уг. мал. полож числа E, найд-ся такое число g, завис-ее от E, что для всех знач х, отличних от чис а из g- окрестн чис а, вып-ся нер-во [f(x)-A]<E др слов

геом- и рис1 Геом смысл того что число А есть предел ф –ии в точ сост в том что какую бы Е-окр точки А на оси у мы не взяли всегда м постр такую g-окр точки а на оси х что для всех х из постр g- окр соотв знач ф–ии обяз-но попадут на перед выбран Е-окр. Число А наз пред ф-ии y=f(x) при x®µ неогр возраст аргум х т.е.

если для скольугод мал пол числа Е найд-ся такое число g>0 что для всех знач х удовл нерав х>g соотв знач ф-ии удовл нерав |f(x)=A|<E рис2. опр: ф-ия y=f(x) наз беск малой при x®a если для "E,$g>0 что для всех х:0<|x-a|<g вып нер |f(x)|<E опр: Ф-я f(x) стрем к беск при х-а т.е. явл µ большой велич при х-а, если для кажд полож числ М, как бы велико оно не было м найти такое g>0, что для всех знач х, отличн от а, удовлет услов [х-а]<g, имеет место неравенст [f(x)]>M.Если f(x) стрем к беск при х-а и приним полож или отриц знач то пишут

Если ф-я f(x) стрем к беск при х стрем к беск то пишут

в частн пишут

предел в терм окрест-ти: число А наз предел ф-ии в точ а если вып: 1.а принадл замык- ю D_f-обл опред.2.для люб V-окрестн чис А сущ U- окр чис а, что f(x) буд сходит-ся вV-окр для всех xÎD_fÇU.

Опр по Гейне: Предел

если для "x_n®a при n®µ соответ ей посл-ть знач ф-ии сх-ся к числу А т.е.

.

Осн теор о предел Т1:един-ть предела Если

при некотор x®a то он единств. нет доказательства Т2: если при некот пред переходе сущ пред

Т3: