Лемма Больцано - Вейерштрасса. Формулировка, доказательство, анализ, применение

Формулировка:

Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность, а из любой неограниченной последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, имеющую своим пределом бесконечность определенного знака.

Доказательство:

Пусть последовательность ограничена, то есть существует такой отрезок [ a,b ], что для всех n =1,2,... Разделим [ a,b ] на два равных отрезка. Хотя бы один из них содержит бесконечное множество элементов данной последовательности. Обозначим такой отрезок через [ a₁,b₁ ]. Пусть – один из элементов данной последовательности, принадлежащей отрезку [ a₁,b₁ ]. Разделим [ a₁,b₁ ] на два равных отрезка. Снова хотя бы один из получившихся двух отрезков содержит бесконечное множество элементов данной последовательности. Обозначим такой отрезок через [ a₂,b₂ ] и один из принадлежащих ему элементов данной последовательности через . Продолжая этот процесс, мы получим последовательность { } такую, что { } є [ ], k =1,2,.... Очевидно, что является подпоследовательностью данной последовательности. Последовательность отрезков [a_k,b_k], k =1,2,..., является последовательностью вложенных отрезков, длины которых

при . По принципу вложенных отрезков существует единственная точка С, принадлежащая всем этим отрезкам, причем:

.

Так как , k =1,2,…, то, по теореме 12 (см. вопрос №2), .

Пусть теперь последовательность неограничена. Пусть для определенности неограничена сверху. Тогда существует такой номер n ₁, что > 1. Очевидно, последовательность , n=n _1+1, n ₁₊₂,… также неограничена сверху, так как получается из данной неограниченной сверху последовательности , n =1,2,… отбрасыванием конечного числа членов. Поэтому существует такой номер n ₂ > n ₁, что . Продолжая этот процесс, получаем последовательность таких номеров n_k, что n₁<n₂<…<n_k<… и > 1, >2,…, > k,…

Это и означает, что – бесконечно большая подпоследовательность данной последовательности. Теорема доказана.

Анализ:

Методы, используемые для доказательства теоремы:

· Сужение области (метод половинного деления);

· Индукция;

· Приведение решения задачи к решению подзадач;

· Приведение задачи к другой, уже решенной задаче;

· Перебор вариантов.

Условием теоремы можно назвать ограниченность или неограниченность рассматриваемой последовательности, однако в доказательстве показано, как данное условие влияет на заключение теоремы.

Применение:

· Используется при доказательстве многих теорем анализа, например, при доказательстве теорем о достижении функций непрерывных на отрезке своих точных верхней и нижней граней.

• Сформулюйте основні теореми з теорії чисел. Доведіть одну з них.