Понятие производной и дифференциала, связь между ними, геометрическая интерпретация, применение производной и дифференциала

Производная (функции в точке) — предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует:

Определение дифференциала. Пусть имеем функцию y = f(x), определенную в некотором промежутке X и непрерывную в точке x₀. Тогда приращению ∆x соответствует такое бесконечно малое, как и ∆x, приращение функции:

И в этот момент нужно ответить на вопрос: существует ли для ∆y такая линейная (по отношению к ∆x) бесконечно малая A * ∆x, что разность:

(1)

где o(∆x) – бесконечно малая высшего порядка, по сравнению с ∆x. Если такая бесконечно малая действительно существует, то функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке x₀, а само выражение A * ∆x называется дифференциалом функции и обозначается символом dy.

Связь между понятиями дифференциала и производной. Понятие дифференциала и производной связаны такой теоремой:

Для того чтобы функция y = f(x) в точке x₀ была дифференцируема, необходимо и достаточно, чтобы для нее в этой точке существовала конечная производная y’ = f’(x₀). При выполнении этого условия равенство (1) имеет место при значении постоянной А, равном именно этой производной:

Необходимость. Если выполняется (1), то отсюда

так что, устремляя ∆x к 0, действительно, получаем

Достаточность сразу вытекает из одной из формул для приращения функции: