Второй замечательный предел. Формулировка, доказательство, геометрическая интерпретация, использование

Формулировка:

Второй замечательный предел:

Доказательство:

Рассмотрим два случая:

1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где — это целая часть x.

Отсюда следует: , поэтому

.

Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:

.

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .

2. Пусть . Сделаем подстановку , тогда

.

Из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x.

Геометрическая интерпретация:

Если посмотреть на график функции, , то можно сделать вывод, что функция при стремится к некому значению e (число Эйлера или число Непера), лежащему в промежутке (2;3). Было доказано, что e – иррациональное число, которое также было вычислено:

e ⋍ 2,7182818284 5904523536

Примеры использования:

1) Найти предел

Решение. Подставим , получим неопределенность и для решения предела воспользуемся вторым замечательным пределом.

3) Найти предел