Комплексные числа

Известно, что квадратное уравнение с вещественными коэффициентами и отрицательным дискриминантом не имеет вещественных корней. В частности, уравнение z² + 1 = 0, z = ± , z = ± i не имеет корней на множестве R. Возникает потребность расширить множество R так, чтобы на более широком множестве было разрешимо квадратное уравнение с любыми коэффициентами.

Определение 9. Комплексным числом называется пара (x, y) вещественных (действительных) чисел x и y, для которых следующим образом определены понятия равенства и операции сложения и умножения.

Обозначим комплексное число (x, y) буквой z, т.е. z = (x, y). Пусть

z₁ = (x₁, y₁); z₂ = (x₂, y₂).

1. Два числа z₁,z₂ считаются равными тогда и только тогда, когда

x₁ = x₂; y₁ = y_2, т.е.

{(x₁, y₁) = (x₂, y₂)} Û {x₁ = y₁}Ù{x₂ = y₂}.

2. Сумма z₁ + z₂ определяется так: z₁ + z₂ = (x₁ + x₂; y₁ + y₂)

3. Умножение z₁z₂ определяется так:(x₁x₂ – y₁y₂; x₁y₂ + x₁y₂)

Среди комплексных чисел особую роль играет число (0,1), которое называют мнимой единицей и обозначают i = (0,1). Вычислим произведение i×i = (0;1)×(0;1) = (0;-1), т.е. i² =-1, i×y = (0;1)×(y;0) = (0,y). Тогда (x,y) = (x,0) + (0,y) = x + iy Следовательно, любое комплексное число можно записать в виде x + iy, или z = (x,y) = x + iy – алгебраическая запись комплексного числа. Действительная и мнимая части комплексного числа x = Rez; y = Imz; Число обозначает |z| и называют модулем комплексного числа z, т.е. |z|³0; и {|z| = 0} Û {z = 0}.

Определение 9. Комплексное число x - iy называют сопряжённым

комплексному числу x + iy и обозначают .

| | = | x + iy | = |x - iy|, .