Метод математической индукции

Для доказательства утверждений, зависящих от натурального числа n, часто применяется общий метод доказательства- метод математической индукции.

Этот метод основан на аксиомах натуральных чисел.

Для доказательства некоторого утверждения, зависящего от натурального числа n, делается следующее:

1. Проверяется справедливость этого утверждения для n = 1.

2. Предпологается справедливость этого утверждения для n = k.

3. Доказывается справедливость этого утверждения для n = k + 1

с учётом предполагаемой справедливости его для n = k.

После чего делается вывод, что утверждение справедливо для

любого натурального числа n.

Пример 5. Доказать справедливость равенства.

1 + 2 + 3 +.... + n = (1)

Решение. Проверяем справедливость (*) для n =1.Оно запишется так: 1 = .Очевидно 1=1. Предположим, что равенство (*) справедливо для n = k т.е. предположим, что справедливо равенство

1 + 2 + 3 +.....+ k = (2)

Используя равенство (2), докажем, что равенство (1) справедливо для n = k + 1, т.е. докажем справедливость равенства.

1 + 2 + 3 +.....+ (k + 1) = (3)

Делая простейшие преобразования, получаем S = S_n + (k + 1)

1 + 2 + 3 +...+ (k + 1) = (1+2+3+...+k) = т.е.

получаем справедливость равенства (3) На основании метода полной математической индукции делаем вывод, что равенство (1) справедливо для любого натурального числа n.

Пример 6. Доказать справедливость равенства

1 + q + q² +....+ q^n-1 = (4)

Решение. Проверим справедливость равенства при n = 1

1 = 1 = 1 (5)

Предположим, что равенство (5) справедливо при n = k

1+ q + q² +..+.q^k-1 =

Докажем, что (4) справедливо и при n = k + 1

S_n+1 = S_n + qⁿ =

Следователь равенство справедливо для любого натурального числа n.

Приме р 7. Доказать неравенство

n £ 2^n-1 (1)

Решение. При n=1 получаем верное числовое равенство

1 £ 2⁰. Предположим, что неравенство n £ 2^n-1 справедливо для n = k, т.е. предположим справедливость неравенства

k £ 2^k-1 (2)

Используя (2) докажем справедливость неравенства

(k + 1) £ 2^(k+1)-1. Действительно, очевидно, что (k + 1)£ 2k.

Отсюда используя неравенство (2) и свойство транзитивности неравенств, получим k + 1 £ 22^k-1 = 2^(k+1)-1