Д). Ограниченность функций

Определение 19. Функция y = f(x) на множестве X называется ограниченной сверху, если существует такое число М, что f(x) £ M для х ÎX.

Определение 20. Значение M называется точной верхней гранью функции y = f(x) и обозначается M = suppf(x), если f(x) £ M x ÎX..

Определение 21. Функция у = f(x), х ÎX, называется ограниченной снизу, если множество ее значений Y ограничено снизу, т.е. существует число m такое, что m £ f(x) х ÎX.

Определение 22. Значение m = inf Y – точная нижняя граница значений функции, тогда m £ f(x) ÎX.

Определение 23. Функция y = f(x) хÎX, называется ограниченной, если она ограничена сверху и снизу. В этом случае m £ f(x) £ M х ÎX.

Условия ограниченности функции f (x) можно записать в следующем виде: (f (x) ограничена) ó ( M > 0 х ÎX |f(x)| £М).

В качестве примера рассмотрим функцию y = sinx, ограниченную на всей числовой оси: | sin x | £ 1, а ее график заключен между прямыми у = ±1 (см. рис. 15.5).

Определение 24. Наибольшим значением функции y = f(x), х Î X, называется наибольший элемент множества значений Y, обозначим его М: М = mах Y и найдется значение аргумента x ₁ Î X такое, что f(x₁) =М. Ясно, что тогда М = М = sup Y.

Определение 25. Наименьшим значением функции y = f(x), х ÎX, называется наименьший элемент множества значений Y, обозначим его m: m = min Y и найдется значение аргумента x ₂ Î X такое, что f(x₂) = m. Ясно, что тогда m = m = inf Y.