Пример 26

Фирма производит товар двух видов в количествах x и y. Функция полных издержек определена соотношением C(x, y)= 2 x+ 3 y+ 100. Цены этих товаров на рынке равны P₁(x)= 22 -x и P₂(y)= 27 -y. Определить, при каких объемах выпуска достигается максимальная прибыль на множестве производственных возможностей, ограниченном издержками производства в объеме C₀= 130. Найти эту прибыль.

Решение.

I(x, y)=P₁ x+P₂ y- C(x, y)= =x(22- x)+y(27- y)-2x-3y-100.

Надо найти максимум этой функции для неотрицательных x и y, удовлетворяющих условию
C(x, y)£ C_0., т.е. в области, заданной неравенствами:

(На рис. эта область заштрихована).

1). Исследуем на экстремум функцию прибыли I(x, y).

Выделив полные квадраты по x и y, приведем функцию к виду:
I(x, y)=- (x- 10 )²- (y- 12 )²+ 144. Максимальная прибыль без учета ограничения C(x, y)£ C₀ достигается в т. Е( 10; 12 ) и равна 144. Полные издержки при таких объемах выпуска больше чем C₀ , поэтому точка E не принадлежит множеству производственных возможностей.

2). Исследуем функцию прибыли I(x, y) на экстремум на границе множества производственных возможностей.
Для определения координат экстремальной точки составим функцию Лагранжа L (x, y, λ)=I(x, y)+λ (C(x, y)- C₀ ) и приравняем нулю ее

частные производные. Получим систему уравнений .

Решив систему, найдем экстремальную точку D( 6; 6 ). Подставим координаты этой точки в функцию прибыли, и найдем максимальную прибыль

I( 6, 6 )= -(6-10)² - (6-12)² + 144 = 92.

Максимум прибыли достигается на границе множества производственных возможностей в точке D. В этой точке линия уровня функции прибыли (окружность с центром в точке E) касается изокосты C(x, y)=C₀ (отрезка АВ).

Ответ: I_max= I (6; 6) = 92.

Пример 27.1. Найти неопределенный интеграл .