Решение. Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью вида

Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью вида , где , .

1) Найдем сначала общее решение однородного уравнения , соответствующего заданному неоднородному. Для этого составим соответствующее ему характеристическое уравнение и найдем его корни . Так как они действительные и кратные, то общее решение однородного уравнения имеет вид .

2) Найдем какое-нибудь частное решение заданного неоднородного уравнения. Так как число не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде , где - некоторое число, которое необходимо найти. Для этого вычислим и . Подставим , и в заданное неоднородное уравнение и так как должно быть его решением, получим верное равенство . Разделив обе части уравнения на и приведя подобные, получим , т.е. .

3) Общее решение неоднородного уравнения имеет вид .

Ответ: .

Пример 40.2. Найти общее решение уравнения .