Решение. 1. Функция определена и непрерывна для всех действительных значений х, кроме х=6

1. Функция определена и непрерывна для всех действительных значений х, кроме х =6.

2. График функции несимметричен, так как функция не является ни четной, ни нечетной. Функция также не является периодической.

3. График функции пересекает ось Ох в точках (5; 0); (7; 0).Чтобы найти эти точки, нужно решить уравнение .

График функции пересекает ось Оу в точке . Чтобы найти эту точку, нужно подставить в уравнение заданной функции значение .

4. Найдем интервалы знакопостоянства функции, решив неравенства

а) ; б) .

Итак, если ; , если ;

5. Рассмотрим поведение функции на границах области определения.

Как ведет себя функция вблизи точки разрыва х = 6?

Чтобы ответить на этот вопрос, найдем и . Следовательно, прямая является вертикальной асимптотой графика функции.

Как ведет себя функция при и при ?

Если рациональная функция представима в виде , где - бесконечно малая функция при (то есть ), то функция является наклонной асимптотой для графика функции . Функция представлена в виде суммы линейной и бесконечно малой функций , следовательно, прямая является для графика заданной функции наклонной асимптотой.

График функции приближается к прямой .

6. Интервалы монотонности и экстремумы найдем, используя теорию первой производной:

для любых значений аргумента из области определения. Вывод: функция монотонно убывает на всей области определения, экстремумов не имеет.

7. Исследование функции на выпуклость и точки перегиба проведем с помощью второй производной ;

Определим знак второй производной.

если , то на интервале график функции направлен выпуклостью вверх;

если , то на интервале график функции направлен выпуклостью вниз. Точек перегиба кривая не имеет. Используя проведенное исследование, строим график функции .

Приведем еще один пример исследования функции и построения графика.

Провести полное исследование и построить график функции .

Решение

1. Функция определена и непрерывна для всех действительных значений х, кроме х =6.

2. График функции несимметричен, так как функция не является ни четной, ни нечетной. Функция также не является периодической.

3. График функции не пересекает ось Ох, так как уравнение действительных корней не имеет. График функции пересекает ось Оу в точке .

4. Найдем интервалы знакопостоянства функции, решив неравенства

а) ;

б) .

Итак, ; .

5. Рассмотрим поведение функции на границах области определения.

Как ведет себя функция вблизи точки разрыва ?

Чтобы ответить на этот вопрос, найдем и . Следовательно, прямая является вертикальной асимптотой графика функции.

Как ведет себя функция при ?

График функции приближается к прямой , которая является для графика наклонной асимптотой. (Если рациональная функция представима в виде , где - бесконечно малая функция при , то функция является наклонной асимптотой для графика функции . Функция представлена в виде суммы линейной и бесконечно

малой функций, следовательно, прямая является для графика заданной функции наклонной асимптотой).

6. Интервалы монотонности и экстремумы данной функции найдем, используя теорию первой производной. Производная первого порядка имеет вид: .

, следовательно, на этих интервалах функция монотонно убывает;

, следовательно, на этих интервалах функция монотонно возрастает.

На интервале производная ;

на интервале производная ;

причем , следовательно, точка является точкой локального минимума исследуемой функции.

На интервале производная ;

на интервале производная ;

причем , следовательно, точка является точкой локального максимума исследуемой функции.

7. Исследование функции на выпуклость и точки перегиба проведем с помощью

второй производной ;

если , следовательно, на интервале график функции направлен выпуклостью вверх;

если , следовательно, на интервале график функции направлен выпуклостью вниз. Точек перегиба кривая не имеет. Используя проведенное исследование, строим график заданной функции.

Пример 12. Решить методом Гаусса систему уравнений:

Решение. Для того, чтобы решить систему линейных алгебраических уравнений, применим метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных с помощью элементарных преобразований.

1) Переставим второе уравнение с первым, чтобы коэффициент перед переменной х в первом уравнении системы был равен 1, получим:

2) Исключим переменную x из второго и третьего уравнений системы. Для этого умножим первое уравнение системы на (–2) и сложим со вторым уравнением; умножим первое уравнение на (–3) и сложим с третьим уравнением, получим систему в следующем виде:

3) Разделим второе уравнение на (–7), чтобы коэффициент перед переменной y во втором уравнении был равен 1:

4) Исключим переменную y из третьего уравнения системы. Для этого умножим второе уравнение на 5 и сложим с третьим уравнением:

5) Разделим третье уравнение на () и получим значение переменной z:

6) Подставим значение z=1 во второе уравнение системы и найдём значение переменной y:

7) Подставим значения z=1 и y=-1 в первое уравнение системы и получим:

Ответ: .

Пример 13. Даны векторы и . Определить, при каких и векторы и коллинеарны.

Решение. Векторы, заданные координатами, коллинеарны, если их координаты пропорциональны, т.е. .

Отсюда a = 4; b = -1. Ответ: a =4; b = -1.

Пример 14. Разложите вектор по векторам

Решение. Разложить вектор по векторам , - значит представить его в виде , где ; ; , , . Решив систему двух уравнений с двумя неизвестными, получим

Следовательно, . Ответ:

Пример 15. Даны векторы ={1; -2; 1} и ={-1; 1; -2}. Найдите косинус угла между векторами и .

Решение. Применяя линейные операции, найдём векторы и :

={ }={5; -8; 7},

={ }={-1; -1; -4}.

По формуле косинуса угла между векторами получаем:

Ответ: = .

Пример 16. Заданы координаты вершин треугольника АВС:

А(-1;2); В(-3;5); С(-7;0).Составить уравнение медианы и высоты треугольника, проведенных через вершину В.