Разложение определителя по строке или столбцу

Предыдущая формула мало пригодна для вычисления определителей n-ого порядка: число членов равно n! И с ростом n это число быстро возрастает.

Практическое вычисление определителей основано в первую очередь на формулах разложения определителя по строке (столбцу).

Рассмотрим определитель n-ого порядка

.

Пусть i - одно из чисел 1, 2, …, n. Каждый член определителя содержит в качестве множителя один элемент i – той строки. Объединим все члены, содержащие a _i1 (первый элемент i – той строки), вынесем общий множитель a _i1 за скобки и выражение, оставшееся в скобках, обозначим A_i1. Далее объединим все члены, содержащие a _i2(их сумма a _i2A_i2), и т.д..

В результате сумма (4) распадётся на n частей:

a _i1A_i1, a _i2A_i2, …, a _inA_in.

Следовательно,

a _i1A_i1 + a _i2A_i2+ …+ a _inA_in. (5)

Это равенство называют разложением определителя по элементам i-той строки (или просто по i-той строке). Выражение Aij называют при этом алгебраическим дополнением элемента a_ij в определителе .

Итак, определитель равен сумме произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения.

По аналогии с разложением определителя по строке записывается разложение определителя по столбцу.

Формулу (5) можно использовать для вычисления определителя . Однако для этого нужно уметь находить алгебраические дополнения. Для этого установим некоторые свойства определителей n-ого порядка.