Нахождение обратной матрицы А-1 в случае невырожденной матрицы А

Пусть А = - невырожденная матрица, т.е.

Теорема. Если А – невырожденная матрица, то

А^-1 =

Здесь А_ij – алгебраическое дополнение для элемента а _ij.

Обратим внимание на своеобразное расположение чисел А_ij в матрице А^-1, а именно: число А_ij расположено не в i – той строке и j – том столбце, а, наоборот, в j – той строке и i– том столбце.

Доказательство.

Следует проверить справедливость равенств АА^-1 = Е и А^-1а = Е. Сделаем это для произведения АА^-1. Полагая АА^-1 = С, запишем

С = АА^-1 = · .

Согласно правилу умножения матриц, элемент матрицы С, расположенный в i – той строке и j – том столбце, равен

При i = j это выражение равно 1, т.к. тогда в скобках стоит разложение определителя по i – той строке; если же , то написанное выражение равно 0, поскольку в этом случае в скобках стоит сумма произведений элементов i – той строки на алгебраические дополнения к соответствующим элементам j – той строки. Т.о., с _ij равно 1, если i = j, и равно 0, если . Это означает, что С = Е.

Пример 1. Найти обратную матрицу для матрицы

А = .

; следовательно, матрица А^-1 существует. Чтобы записать её, находим числа А₁₁ = -1, А₁₂ = -4,А₂₁ = -2, А₂₂ = -7.

А^-1 = -

Пример 2. То же самое для матрицы

А =

А₁₁ = А^-1 = -