Умножение матриц

Произведение матрицы А на матрицу В определено только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. В результате умножения получится матрица АВ, у которой столько же строк, сколько их в матрице А, и столько же столбцов, сколько их в матрице В:

Запишем матрицы А и В в виде

А = , В =

Обозначим элементы матрицы АВ через с _ij, 1 Тогда

АВ =

По определению, элемент с _ij матрицы АВ равен произведению i – той строки матрицы А на j –тый столбец матрицы В, т.е.

с _ij = a _i1 b _1j + a _i2 b _2j + … + a _in b _nj.

Пример. Найти произведение АВ, если

А =

Матрица АВ является матрицей размера 3 2. Вычисляем элементы с _ij

матрицы АВ. Имеем:

с ₁₁ = 2· 3 + 3 ·4 + 4 ·1 + 5 ·2 = 32;

с ₁₂ = 2· 2 + 3 ·(-1) + 4 ·(-3) + 5 ·5 = 14;

с ₂₁ = 9 ·3 + 2 ·4 + (-3) ·1 + 4· 2 = 40;

с ₂₂ = 9 ·2 + 2· (-1) + (-3)·(-3) + 4 ·5 = 45;

с ₃₁ = (-1)· 3 + (-5) ·4 + 3 ·1 + 11· 2 = 2;

с ₃₂ = (-1)· 2 + (-5) ·(-1) + 3· (-3) + 11 ·5 = 49.

Итак, АВ =

Свойства умножения матриц.

1. (АВ) k = (A k)B = A (B k), k – число.

2. (А + В) С = АС +ВС.

3. С (А + В) = СА + СВ.

4. (АВ)С = А (ВС) (ассоциативность).

5. АВ ВА (некоммутативность).

Пример. А = , В = , АВ = , ВА = .

Матрицы А и В называются перестановочным и, если АВ = ВА.