Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Евклидово пространство
Билинейной формой g на называют билинейное отображение g: R. Билинейность означает линейность по каждому аргументу: g( g ( для любых из и из R. Пусть , i = - базис , то Тогда g( обозначим g( Тогда g(. (1) В этой записи учтена краткая запись суммы: если некоторый индекс встречается дважды: один раз – вверху и один раз – внизу,- то по этому индексу подразумевается суммирование. Таким образом, если в выбран базис, то каждая билинейная форма g определяет квадратную матрицу G= . Верно и обратное: каждая квадратная матрица G определяет некоторую билинейную форму g. Поэтому матрицу G называют матрицей билинейной формы. Билинейная форма g называется симметрической, если для любых т.е g –симметрическая билинейная форма тогда и только тогда, когда матрица G-симметрическая, т.е G= . Симметрическую билинейной форму называют положительно определенной, если для всякого вектора выполняется: g( >0. Например, билинейная форма g, определяемая единичной матрицей G=E, g( – положительно определенная. Действительно, g( то есть g-симметрическая, а также g( >0, где учтено, что Ненулевые векторы и называются сопряженными относительно билинейной формы g, если g(. Теорема. В любом векторном пространстве существует хотя бы один базис, любые два вектора которого сопряжены относительно данной симметричной билинейной формы g. Векторное пространство называется евклидовым векторным пространством, если в нем определена положительно определенная билинейная форма g, при этом g( называется скалярным произведением векторов и , пишут или Положительно определенная билинейная форма g удовлетворяет известным свойствам скалярного произведения векторов: 1) 2) 3) 4) >0, где скалярный квадрат вектора Эти свойства (очевидны из определения g) являются аксиомами для аксиоматического определения скалярного произведения векторов. Покажем, что если g положительно определенная билинейная форма, то g( Для этого докажем в введенных обозначениях, что: -1 (2) Из условия положительной определенности g имеем: . Поэтому число определяет косинус угла между векторами и : то есть cos что и требовалось доказать. Согласно определению, базис является ортонормированным, если векторы единичны и взаимноперпендикулярны в евклидовом пространстве . Утверждается, что в евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. Действительно, пусть cопряженный базис относительно g, то искомый базис определяется векторами: . Очевидно, что в ортонормированном базисе положительно определенная билинейная форма g определяется единичной матрицей, то есть и cos
|