Ядро и образ линейного оператора

Ядром линейного оператора : называется множество таких векторов , что .Ядро оператора обозначается: Ker .

Образом линейного оператора : называется множество образов всех векторов из . Образ оператора обозначается Jm .

Рассмотрим основные свойства ядра и образа линейного оператора.

1.Ядро линейного оператора является векторным подпространством векторного пространства V_n, т.е. Ker .Образ линейного оператора является векторным подпространством векторного пространства , т.е. Jm .

Действительно, проверкой можно убедиться, что множества Ker и Jm замкнуты относительно операций сложения векторов и умножения вектора на число. Значит, для них выполнены все аксиомы векторного пространства.

Дефектом линейного оператора называется размерность ядра, т.е. dim (Ker ), а рангом линейного оператора – размерность его образа, т.е. dim (Jm ) = r.

2.Если векторы линейно зависимы (независимы), то их образы также линейно зависимы (независимы).

Действительно, если , где не равны нулю одновременно, тогда образ этого равенства имеет вид

,

т.е. , где не равны нулю одновременно. Значит, линейно зависима.

3. Ранг линейного оператора : равен рангу его матрицы: r = rang A.

Действительно, если - базис , то их образы также линейно независимы. Но максимальное количество линейно независимых векторов определяется (столбцовым) рангом матрицы А.

4. Линейное отображение : является инъективным тогда и только тогда, когда Ker = { }.

Образом нулевого вектора из является нулевой вектор из . Поэтому, если инъективно, то Ker ={ }, иначе два разных вектора и имели бы один и тот же образ ()= ().

Обратно, пусть Ker = { }. Предположим противное:

.

Значит, ненулевой вектор принадлежит Ker , что противоречит условию, т.к. Ker ={ }.

5. Линейное отображение : является сюръективным тогда и только тогда, когда Jm = , т.е. rang A =dim .

Свойство, очевидное в силу определения сюръективности отображения. В силу 4 и 5 свойств имеем:

6. Линейное оотображение : является биективным (взаимно однозначным) тогда и только тогда, когда Ker ={ } и Jm = , т.е., когда образом базиса векторного пространства является базис векторного пространства .

7. Сумма размерностей ядра и образа линейного оператора : равна размерности , т.е.

dim (Ker ) + dim (Jm ) = dim .

Пусть дан оператор : , т.е. y = А x, тогда обратным оператором для называется линейный оператор , т.е. , при этом линейный оператор называют обратимым. Обратный оператор для определяется матрицей ,обратной к матрице А:

,

откуда .

8. Оператор обратим тогда и только тогда, когда он действует взаимно однозначно.

Действительно, если – биекция, то в силу свойств 6, 7 dim (Ker )=0, dim (Jm )= n. Значит, dim V = dim V' = n, rang А=n, то есть матрица А этого оператора невырожденная. Значит, существует обратная матрица .

Обратно, если для матрицы А существует обратная матрица , то rang A= rang , т.е. dim V =dim V'= Jm , тогда dim (Ker )= dim V- dim (Jm )=0. В силу свойств 4 и 5 имеем, что оператор действует взаимно однозначно.