Вектор. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Векторное пространство

Вектором называется направленный отрезок, т.е. отрезок, у которого учитывается упорядоченность его концов (рис.7).

, - обозначение вектора. Длиной вектора называют длину отрезка АВ, пишут │ │= АВ или │ │= АВ.

Вектор называют нулевым, если его длина равна 0, т.е. = . Вектор называют единичным, если длина его равна единице. Для вектора вектор называют противоположным, пишут: = - . Векторы и называются коллинеарными (обозначают // ), если прямые АВ и СD параллельны. Коллинеарные векторы могут быть сонаправленными: или противоположно направленными: .

Сложение векторов: пусть даны векторы и .

Отложим вектор от некоторой точки А, т.е. = ; от точки В отложим вектор , т.е. = (рис.9). Тогда определен вектор . Вектор = называется суммой векторов и , т.е. + = или + = .

Таким образом, для любых трех точек А,В,С справедливо равенство (правило треугольника):

+ = . (1)

Используя правило треугольника, получаем:

, (2)

. (3)

Сложение векторов коммутативно (рис.10):

+ = + . (4)

Рис.10

Очевидно, что вектор в этом случае содержит диагональ параллелограмма (может быть, вырожденного), построенного на векторах и .

Сложение векторов ассоциативно (рис.11):

. (5)

Пусть то .

Тогда , откуда получаем равенство (5).

Таким образом, сумма трех векторов не зависит от порядка слагаемых.

Аналогично определяется сумма нескольких векторов. Так, например, при нахождении суммы четырех векторов строится многоугольник, стороны которого определяют заданные векторы и результат сложения векторов. Это правило построения суммы нескольких векторов называется правилом многоугольника.

Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Разностью двух векторов и называется сумма вектора и вектора , противоположного вектору .

Произведением вектора на действительное число λ

называется вектор , удовлетворяющий условиям:

1)│ │=│ │∙│ │,

2) векторы и сонаправлены, если λ> 0, и противоположно направлены, если λ < 0.

Произведение вектора на число обладает следующими свойствами: (6)

, (7)

, (8)

. (9)

Используя определение произведения вектора на действительное число λ, нетрудно обосновать, что: векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда существует такое действительное число λ, что .

Свойства (2)-(9) называются аксиомами векторного пространства, а само множество векторов (направленных отрезков) V называют векторным пространством. Векторное пространство могут определять и другие множества, кроме множества направленных отрезков, например, множество всех матриц одной размерности.

Приведем аксиоматическое определение векторного пространства. Пусть дано непустое множество V, элементы которого будем называть векторами и обозначать и т.д., и множество действительных чисел R, в которых определены сложение векторов (внутренний закон композиции) и умножение вектора на число (внешний закон композиции).

Тогда V называют векторным пространством над полем действительных чисел R, если введенные выше операции удовлетворяют следующим аксиомам векторного пространства. Для любых векторов из V и для любых действительных чисел из R:

1. Сложение векторов коммутативно: .
2. Сложение векторов ассоциативно:
3. Существование нулевого вектора :
4. Существование противоположного вектора :
5. Умножение любого вектора на 1 не изменяет вектор:
6. Умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения векторов:
7. Умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел:
8. 

Важное значение в векторном пространстве имеет понятие линейной зависимости (независимости) векторов. Согласно определению §12, система векторов называется линейно зависимой, если существуют числа не равные нулю одновременно, что имеет место: . (1)

Система векторов называется линейно независимой, если равенство (1) выполняется лишь тогда, когда все числа равны нулю. Свойства линейной зависимости системы векторов приведены в §12.

Понятие линейной зависимости (независимости) векторов позволяет ввести аксиомы размерности векторного пространства:

1. Существует n линейно независимых векторов

,

1. Любая система из n +1 вектора линейно зависима.

В силу этих аксиом определяется понятие базиса векторного пространства.

Базисом векторного пространства называется упорядоченная система n векторов , удовлетворяющая условиям:

1) - линейно независима,

2) всякий вектор из V представим в виде линейной комбинации: .

При этом коэффициенты называются координатами вектора в базисе , пишут .

Число векторов базиса определяет размерность векторного пространства. Если базис состоит из n векторов, то V называют n -мерным векторным пространством и обозначают .

Первоначально рассмотрим объекты трёхмерного пространства , и соответствующего ему трёхмерного векторного пространства .

Пример. В базисе заданы векторы . Проверить, что векторы образуют новый базис .

Решение: если векторы образуют базис, то они линейно независимы, т.е. должно выполняться условие

rang =3, что очевидно, т.к матрица приводится с помощью элементарных преобразований к следующему виду: .

Остается проверить, что для всякого вектора из выполняется векторное равенство , что также очевидно, т.к. rang =3.