Основные свойства определителей

Обоснуем основные свойства определителя для строк, аналогично обосновываются подобные свойства и для столбцов.

1. При умножении строки (столбца) матрицы на некоторое число определитель умножается на то же число.

Доказательство. Пусть и . Тогда, разложив определители по первой строке, имеем: , .

2. Определитель матрицы, содержащий нулевую строку (нулевой столбец) равен нулю.

Доказательство. Нулевая строка – это строка матрицы умноженная на , значит .

3. Перестановка двух соседних строк (столбцов) матрицы меняет знак её определителя на противоположный.

Доказательство. Пусть в матрице переставлены местами первые две строки, тогда определитель полученной матрицы равен: .

4. Определитель матрицы, содержащей две одинаковые строки (столбца), равен нулю.

Доказательство. Пусть первая строка совпадает с -ой строкой. Заменой строк местами приведем матрицу к виду .

Замена строк местами меняет лишь знак определителя, поэтому . Заменой первых двух одинаковых строк матрицы местами получим: , значит .

При вычислении определителя можно использовать такой вид преобразования матрицы: к одной строке матрицы (столбцу) прибавляется другая строка (столбец), умноженная на некоторое число. Такоепреобразование матрицы назовём строчечным (столбцовым) преобразованием. С помощью строчечных и столбцовых преобразований всякую невырожденную матрицу можно привести к диагональному виду (этот факт приведем без доказательства).

5. Строчечные (столбцовые) преобразования матрицы не меняют значение определителя.

Доказательство. Пусть к первой строке матрицы прибавлена вторая строка, умноженная на некоторое число k:

.

Тогда

Пусть дана квадратная матрица , тогда -ой столбцовой cуммой называется выражение ; i-ой строчечной суммой называется выражение .