Обратная матрица

Матрицу называют невырожденной, если её определитель не равен нулю. Напомним, что матрицу диагонального вида называют единичной (обозначают буквой Е), если все элементы главной диагонали равны единице, остальные – нули, например,

Е₃ = . Очевидно, что А∙Е = Е∙А.

Для невырожденной матрицы А матрицу А ^-1 называют обратной, если

А∙А^-1 = Е. (1)

Докажем, что из (1)следует

А^{-1 ∙}А = Е. (2)

Пусть А∙А^-1 = Е и А^-1 = В, то есть А∙В = Е. Допустим, что С∙А=Е, умножив на В, получим:

(С∙А) ∙В = Е∙В С∙ (А∙В) = В С∙Е = В С = В, т.е.

А∙А^-1 = А^-1∙А. (3)

Приведем пример нахождения обратной матрицы с применением элементарных строчечных преобразований для матрицы

А = .

Решение:

~ ~

~ ~ ~

~ А^-1 = .

Теорема. Всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу.

Приведем доказательство для случая матрицы 3-го порядка. Пусть

А = , где det А 0.

Составим матрицу из алгебраических дополнений:

= , найдем произведение матрицы А на :

А ∙ = = = = de t A ∙ = (det A)∙ E.

Значит, А ∙ = (det A)∙ E т.е. A ∙ = E.

Окончательно: A^-1 = ∙ .

Аналогично обосновывается утверждение для невырожденной матрицы произвольной размерности n.

Свойства:

1) ; 3) ;

2) ; 4) .

Невырожденная (квадратная) матрица А называется ортогональной, если . Значит , поэтому матрица А ортогональна тогда и только тогда, когда . Это равенство накладывает следующее условие на столбцы матрицы А:

1) сумма квадратов элементов каждого столбца равна 1,

2) сумма произведений соответствующих элементов двух столбцов равна 0.

Например, для матрицы выполнены условия 1 и 2, значит А – ортогональная матрица.

Очевидно, что для всякой ортогональной матрицы:

а) ,

б) матрицы и - ортогональные.