Метод Гаусса. Системой m линейных (алгебраических) уравнений с n неизвестными называется система вида:

Системой m линейных (алгебраических) уравнений с n неизвестными называется система вида:

(1)

где числа (; j = , m,n – конечные натуральные числа)называются коэффициентами системы, b_i - свободные члены.

Решением системы (1) называется упорядоченный набор чисел ₁, ₂, …, _n, таких, что при подстановке вместо х₁ числа ₁, вместо х₂ числа ₂ и т.д. все уравнения системы обратятся в тождества. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет (ни одного) решения.

Система линейных уравнений может:

1) не иметь решения,

2) иметь более одного решения (система неопределенная),

3) иметь одно решение (система определенная).

Каждое решение неопределенной системы называется частным решением этой системы. Совокупность всех частных решений называется её общим решением.

Решить систему – это значит сначала выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, то требуется найти её общее решение.

При решении системы линейных уравнений применяют к системе следующие элементарные преобразования:

-удаление уравнения вида ,

-прибавление к какому-либо уравнению другого уравнения, умноженного на любое число.

Две системы называют равносильными, если каждое решение первой системы является решением второй системы, и обратно, каждое решение второй системы является решением первой. В записи равносильных систем используют знак «».

Совершая элементарные преобразования, получаем систему, равносильную исходной.

Критерий совместности системы линейных уравнений выражает теорема Кронекера – Капелли:

Теорема. Система линейных уравнений (1) совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы системы, т.е. rang = rang , где

;

Для доказательства запишем систему линейных уравнений в матричном виде: , где

-столбец свободных членов, - столбец неизвестных. Тогда система запишется в эквивалентной форме:

(2)

Обозначив столбцы соответственно равенство (2) запишем в виде линейной комбинации столбцов

.

Тогда, если система (1) (совместна) имеет решение , то столбец является линейной комбинацией столбцов матрицы А, т.е. .

Обратно, если rang A = rang , то является линейной комбинацией системы Значит, существует набор удовлетворяющий (2), что является решением системы (1), т.е. она совместна.

Метод Гаусса: процесс решения системы линейных уравнения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе с помощью элементарных преобразований приводят расширенную матрицу системы к треугольному виду. Второй этап заключается в решении системы линейных уравнений треугольного вида.

Рассмотрим этот метод на конкретном примере. Требуется решить систему линейных уравнений

Очевидно, что элементарные преобразования системы соответствуют элементарным преобразованиям расширенной матрицы системы:

= ~ ~ ~

Ранг расширенной матрицы равен рангу основной матрицы, т.к. А = ~ ,

т.е. rang = rang A =2. Получили следующую (треугольную) систему линейных уравнений:

Получим общее решение. Пусть и - свободные переменные, тогода и - главные. Выразим главные переменные через свободные:

- общее решение.

Если положить, например, , , то найдем одно из частных решений системы

; ; ; .

Таким образом, для всякой совместной системы линейных уравнений: