Очевидно, что перечисленные свойства 1-5 выражают свойства строчечных (столбцовых) сумм

Для того, чтобы доказать, что свойства 1-5 – свойства определителей, достаточно доказать формулы (3) и (4) из § 9.

Лемма. Любые строчечные (столбцовые) суммы равны.

Доказательство. Обоснуем, что Q₁ = Q₂. Для этого приведем невырожденную матрицу с помощью строчечных и столбцовых преобразований к виду: , для которой строчечные суммы первых двух строк – и . В силу свойства 5 имеем: и . Требуется доказать, что .

.

Используя определение определителя, можно доказать, что определитель матрицы равен произведению элементов диагонали, т. е. . Аналогично Значит, , откуда

В силу леммы очевидна справедливость формул (3), (4) § 9:

В силу доказанных свойств легко обосновываются многие свойства определителей. Например, обоснуем свойство

det .

Допустим, что невырожденные матрицы и приведены с помощью строчечных и столбцовых преобразований к диагональному виду, т.е. можно считать, что , где при ; , где при . Значит, det , det . С другой стороны тогда det