Степенные ряды

Число называется радиусом сходимостистепенного ряда, если при всех , для которых , степенной ряд сходится, а при всех , для которых , степенной ряд расходится.

Радиус сходимости вычисляется по формуле:

.

Промежуток называют интервалом сходимостистепенного ряда.

Область сходимостистепенного ряда либо совпадает с его интервалом сходимости, либо получается из этого интервала добавлением одной или обеих граничных точек, т. е. и .

Пример 53.

Найти радиус и область сходимости степенного ряда .

Решение.

1) Воспользуемся формулой для нахождения радиуса сходимости:

, ,

.

Таким образом, радиус сходимости равен .

2) Интервал сходимости этого ряда . Исследуем сходимость этого ряда на концах интервала.

3) , получим числовой ряд .

Данный ряд расходится.

4) , получим числовой ряд . Данный ряд расходится.

5) Значит интервал сходимости данного ряда .

Пример 54.

Найти область сходимости степенного ряда .

Решение.

1) Найдем радиус сходимости ряда: , , . Радиус сходимости .

2) Интервал сходимости равен промежутку .

3) Найдём область сходимости. Для этого надо исследовать поведение ряда в точках и .

a) . Наш ряд примет вид .

По признаку Лейбница данный ряд сходится, т. к. все члены ряда по абсолютной величине монотонно убывают (1; 0,5; 0,333; 0,25; 0,2; …) и общий член стремится к нулю .

Значит, точку включаем в область сходимости.

b) . Получим расходящийся гармонический ряд .

Значит, точку не включаем в область сходимости.

Таким образом, областью сходимости будет промежуток .

Пример 55.