Пример 61

Вычислить e ^0,1 с точностью до 0,001.

Решение:

Для функции e^x формула Тейлора имеет вид: e^x =1+ x + +…

При x =0,1 получаем знакоположительный числовой ряд. Необходимо взять только те члены ряда, которые больше 0,001

При x =0,1 получаем

e ^0,1≈1+0,1+ ≈1+0,1+0,005+0,0002≈1,105.

Так как 0,0002<0,001, то достаточно взять три члена ряда.

Ответ: e ^0,1≈1,105.

Пример 62.

Вычислить ln 1,1 с точностью до 0,0001.

Решение.

Используем разложение функции ln (1 + x) в степенной ряд, полагая х = 0,1. Получаем ряд для вычисления ln 1,1:

.

Абсолютное значение четвертого члена этого ряда меньше 0,0001. Поэтому, согласно свойству знакочередующегося ряда, члены которого убывают по абсолютной величине (признак Лейбница), для вычисления приближенного значения ln 1,1 с точностью 0,0001 достаточно взять сумму трех первых членов ряда. Имеем

.

Ответ: ln1,1 ≈0,0953