Показательная и логарифмическая функции, их графики и основные свойства

I. Показательная функция, её свойства и график.

Определение: Функция вида называется показательной.

Основные свойства:

① ;

② ;

③ При функция является возрастающей;

при , функция является убывающей.

График показательной функции проходит через точку (0;1), так как .

Для определенности пусть a = 2   x -2 -1         2x                 y                                                                                                                                                                                                                                 x

Для определенности пусть a = ½   x -3 -2 -1                       y                                                                                                                                                                                                                   x

II. Логарифмическая функция, её свойства и график.

Определение: Функция вида называется логарифмической.

Основные свойства:

① .

② .

③ При , то функция является возрастающей; при , функция является убывающей.

График логарифмической функции проходит через точку (1;0), так как

Для определенности пусть a = 2   x         -2 -1               y                                                                                                                                                                 x

Для определенности пусть a = ½   x               -1 -2 -3       y                                                                                                                                                                   x

Замечание: показательная и логарифмическая функции с одинаковым основанием являются взаимно обратными, в связи с этим их графики симметричны относительно прямой y = x.

y           y = x                                                                                                                                                                                                                                                                         x

1 уровень

211. На координатной плоскости постройте графики функций:

а) ; б) .

212. На координатной плоскости постройте графики функций:

а) ; б) .

213. Найдите значение функции в точке x₀:

а) ; б) .

214. Найдите значение функции в точке x₀:

а) ; б) .

215. Укажите область определения функций:

а) ; б) ; в) ; г) .

216. Укажите область определения функций:

а) ; б) ; в) ; г) .

217. Укажите область значений функций:

а) ; б) ; в) ; г) .

218. Укажите область значений функций:

а) ; б) ; в) ; г) .

2 уровень

219. Укажите область определения функций:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

220. Укажите область определения функций:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

221. Укажите область значений функций:

а) ; б) ; в) ; г) .

222. Укажите область значений функций:

а) ; б) ; в) ; г) .

3 уровень

223. Найдите область определения функций:

а) ; б) ; в) ; г) .

224. Найдите область определения функций:

а) ; б) ; в) ; г) .

225. Найдите область значений функций:

а) ; б) ; в) .

226. Найдите область значений функций:

а) ; б) ; в) .

227. Постройте график функции и исследуйте её: .

228. Постройте график функции и исследуйте её: .

229. Укажите горизонтальные и вертикальные асимптоты (если они есть) графиков функций:

а) ; б) .

230. Укажите горизонтальные и вертикальные асимптоты (если они есть) графиков функций:

а) ; б) .

231. Найдите, обратную функцию для функций:

а) ; б) .

232. Найдите, обратную функцию для функций:

а) ; б) .