I. Показательные уравнения

Простейшее показательное (неизвестная величина находится в показателе) имеет вид a^x = b, где a > 0, a ≠ 1.

Если b ≤ 0, то уравнение решений не имеет.

Если b > 0, то уравнение имеет единственное решение .

Уравнение a^f(x) = a^g(x), где a > 0, a ≠ 1, равносильно уравнению f(x) = g(x).

При решении более сложных показательных уравнений применяются как традиционные методы: разложение на множители, замена переменной (в том числе для сведения уравнения к квадратному), так и логарифмирование обеих частей по нужному основанию.

Пример 1. Решить уравнение: .

; так как основания выражений в правой и в левой частях одинаковы, то для выполнения равенства, необходимо равенство показателей степени, то есть x = 3.

Ответ: 3.

Пример 2. Решить уравнение: .

Данное уравнение не имеет решений, так как область значений любой показательной функции , то есть не может принимать отрицательных значений.

Ответ: Æ.

Пример 3. Решить уравнение: .

После несложных преобразований данное уравнение принимает вид однородного уравнения второй степени: , которое после деления обеих частей на принимает вид: .

Заметим, что деление на корректно, так как при любом xÎ R 5 ^x > 0 (по свойству показательной функции).

Далее, вводим новую переменную и получаем квадратное уравнение:

Þ

После обратной замены получаем Þ

Ответ: .

II. Показательные неравенства.

При решении показательных неравенств необходимо учитывать характер монотонности показательной функции в зависимости от основания.

Простейшее показательное неравенство a^f(x) ≤ a^g(x) при a > 1 равносильно неравенству f(x) ≤ g(x), а при 0 < a < 1 неравенству f(x) ≥ g(x).

Пример 1. Решить неравенство: .

Данное неравенство не имеет решений, так как показательная функция при любом x принимает только положительные значения.

Ответ: Æ.

Пример 2. Решить неравенство: .

Данное неравенство всегда верно, так как показательная функция при любом x принимает только положительные значения.

Ответ: (– ∞; + ∞).

Пример 3. Решить неравенство: .

, функция 2 ^x – возрастающая, так как 2 > 1;

x > – 6.

Ответ: (– 6; + ∞).

Пример 4. Решить неравенство: .

, функция – убывающая, так как ;

x ≤ 6.

Ответ: (– ∞; 6].

III. Логарифмические уравнения.

Простейшее логарифмическое уравнение имеет вид , где a > 0, a ≠ 1.

Оно имеет единственное решение x = a^b.

Уравнение вида , где a > 0, a ≠ 1 равносильно системе

Таким образом, логарифмические уравнения можно решать, находя ОДЗ с целью отбрасывания возможных посторонних корней, или выполняя ПРОВЕРКУ, подставляя найденные корни в исходное уравнение.

Пример 1. Решить уравнение: .

2 x – 1 = 5², 2 x - 1 = 25, x = 13.

В данном примере находить ОДЗ или делать проверку необязательно, так как требование 2 x – 1 > 0 выполняется автоматически.

Ответ: 2,5.

Пример 2. Решить уравнение: .

ОДЗ уравнения: x > 0.Данное уравнение с помощью замены приводится к квадратному уравнению: , корни которого t ₁ = 1 и t ₂ = 2.

Делаем обратную замену и решаем совокупность простейших логарифмических уравнений:

или x = 10

; x = 100

Оба корня входят в ОДЗ.

Ответ: 10;100.

IV. Логарифмические неравенства.

При решении логарифмических неравенств необходимо учитывать характер монотонности соответствующей функции в зависимости от её основания (функция убывает при 0 < a < 1, возрастает при a > 1).

Неравенство равносильно системе неравенств:

при a > 1 при 0 < a < 1.

Обобщая, получим: неравенство равносильно совокупности систем неравенств:

или

Пример. Решить неравенство: .

.

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

½ x

.

Ответ: (ответ можно записать в виде ).

1 уровень

233. Решите уравнения:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) ; и) .

234. Решите уравнения:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) ; и) .

235. Решите неравенства:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

236. Решите неравенства:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

237. Решите уравнения:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

238. Решите уравнения:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

239. Решите неравенства:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

240. Решите неравенства:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

2 уровень

241. Решите уравнения:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) ;

и) ; к) ; л)

242. Решите уравнения:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) ;

и) ; к) ; л)

243. Решите уравнения:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д)

244. Решите уравнения:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д)

245. Решите неравенства:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) ;

и) ; к) ; л)

246. Решите неравенства:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) ;

и) ; к) ; л)

247. Решите уравнения:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) ; к) .

248. Решите уравнения:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) ; к) .

249. Решите неравенства:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) ; к) .

250. Решите неравенства:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) ; к) .

3 уровень

251. Решите уравнения:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) ; к) ;

л) ; м) ;

н) ; о) .

252. Решите уравнения:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) ; к) ;

л) ; м) ;

н) ; о) .

253. Решите системы уравнений:

а) ; б) .

254. Решите системы уравнений:

а) ; б) .

255. Решите неравенства:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) ; к) ;

л) ; м)

256. Решите неравенства:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) ; к) ;

л) ; м)

257. Решите систему неравенств: .

258. Решите систему неравенств:

259. Решите уравнения:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) ; к)

260. Решите уравнения:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) ; к)

261. Решите неравенства:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) ; к)

262. Решите неравенства:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) ; к)

263. Решите системы уравнений и неравенств:

а) ; б) ;

в) ; г) .

264. Решите системы уравнений и неравенств:

а) ; б) ;

в) ; г) .