Ugrave;B A

Неправильность подобных умозаключений состоит в том, что в них между посылками и заключением нет отношения логического следования, в чем легко убедиться с помощью таблиц истинности. Про умозаключения первого типа говорят, что “нельзя заключать от отрицания основания к отрицанию следствия” (следствие может иметь место и в силу каких-либо других оснований), а про умозаключения второго типа говорят, что “нельзя заключать от наличия следствия к наличию основания” (по той же самой причине: основание для наступления следствия могло быть другим). В целом использование умозаключений таких типов при доказательстве каких-либо утверждений считается логической ошибкой.

Разделительно-категорическими называются умозаключения, в которых одна из посылок является разделительным (дизъюнктивным) суждением, а вторая совпадает либо с одним из членов дизъюнкции, либо с его отрицанием.

Поскольку существует два вида дизъюнкции - строгая и нестрогая, постольку мы будем различать схемы умозаключений, в которых встречаются дизъюнктивные суждения различных видов. Для строгой дизъюнкции существует четыре вида правильных умозаключений. Их логические схемы таковы:

A Ú B, AA Ú B, BA Ú B, ùAA Ú B, ùB

ùB ùA B A

Первые две схемы умозаключений называются modus ponendo tollens (модус понендо толленс) - утверждающе-отрицающий модус, а последние две схемы называются modus tollendo ponens (модус толлендо поненс) - отрицающе-утверждающий модус.

Примером умозаключения первого типа является рассуждение Студент может учиться на дневном либо на вечернем или заочном отделении. Этот студент учится на дневном отделении. Значит, он не является ни студентом-вечерником, ни студентом-заочником. Примером умозаключения второго типа будет рассуждение Преподаватель либо ходит на работу пешком, либо добирается на каком-либо транспорте. Этот преподаватель не ходит на работу пешком. Значит, он добирается до работы на каком-либо транспорте.

Рассмотрим первый из примеров подробнее. Первая посылка представляет собой строгое дизъюнктивное суждение, содержащее три различных члена: Студент может учиться на дневном отделении, Студент учится на вечернем отделении, Студент учится на заочном отделении. Обозначим первое высказывание буквой p, второе - буквой q и третье - буквой r. Тогда логическая схема этого умозаключения будет выглядеть так:

p Ú qÚr, p

ùq&ùr

Легко проверить, что это умозаключение является правильным - между его посылками и заключением есть отношение логического следования. Однако, представленное в таком виде, оно отличается от любой схемы разделительно-категорических умозаключений. Тем не менее, несмотря на внешние различия, наш пример полностью соответствует самой первой схеме.

Напомним, что буквами A и B обозначаются произвольные суждения. Это означает, что вместо p мы можем использовать А, а вместо qÚr - B. Тогда форма посылок в нашем примере примет вид, соответствующий первой логической схеме. Заключение рассуждения имеет вид конъюнкции двух отрицаний - ùq&ùr. С помощью таблиц истинности легко показать, что это выражение логически эквивалентно отрицанию дизъюнкции - ù(qÚr), т.е. эквивалентно ùB. Тем самым и форма заключения также приведена в соответствие с первой логической схемой. Покажем еще раз последовательно все наши преобразования:

p Ú qÚr, pp Ú (qÚr), pA Ú B, A

ùq&ùr ù(qÚr) ùB

Для осуществления подобных преобразований полезно знать следующие эквивалентности:

ù(p&q)º(ùpÚùq) (I)

ù(pÚq)º(ùp&ùq) (II)

ù(pÉq)º(p&ùq) (III)

(pÉq)º(ùpÚq) (IV)

(pÚq)º(ùpÉq) (V)

(pºq)ºù(p Ú q) (VI)

ùùpºp (VII)

В дальнейшем при ссылке на эти формулы мы будем использовать выражения “эквивалентность (I)”, “эквивалентность (II)” и т.д.

Для нестрогой дизъюнкции правильными будут только умозаключения, соответствующие схемам модус толлендо поненс, то есть схемам

AÚB, ùAAÚB, ùB

B A

Примером умозаключения такого типа будет рассуждение По каждому из изучаемых предметов студенты сдает зачет или экзамен. По физкультуре экзамен не предусмотрен. Следовательно, студенты по физкультуре сдают зачет.

Чисто условными называются умозаключения, в которых и посылки, и заключение являются условными суждениями. Чаще всего в учебниках упоминают три различных вида условных умозаключений: простую контрапозицию, сложную контрапозицию и транзитивность.

Простая контрапозиция имеет следующую схему:

AÉB

ùBÉùA

Классическим примером умозаключения данного типа является рассуждение Если мистер Джонс счастлив, то миссис Джонс не счастлива, следовательно, если миссис Джонс счастлива, то мистер Джонс не счастлив. Простая контрапозиция очевидным образом связана с modus tollens. Схемы этих умозаключений различаются только положением суждения ùB. В модус толленс оно находится среди посылок, а в простой контрапозиции перенесено из посылок в заключение.

Сложная контрапозиция отличается от простой тем, что условиями всех ее суждений являются некоторые конъюнкции:

(A&B)ÉC

(A&ùC)ÉùB

Примером такой контрапозиции может служить умозаключение Если студент сдал все зачеты и все экзамены за годовой курс обучения, то он переводится на следующий курс. Следовательно, если студент сдал все зачеты за годовой курс обучения, но не переведен на следующий курс, то он не сдал некоторые экзамены.

Наконец, умозаключение по транзитивности имеет такую логическую схему:

AÉB, BÉC

AÉC

Приведенная схема является схемой простейшего умозаключения по транзитивности. Примером его будет рассуждение Если студент получает стипендию, то он сдал все экзамены в срок. Если студент сдал все экзамены в срок, то он считается успевающим студентом. Следовательно, если студент получает стипендию, то он является успевающим.

Вообще умозаключение по транзитивности может иметь сколь угодно большое конечное число посылок, важно лишь, чтобы все они могли бы выстроиться в такую последовательность, в которой следствие предшествующей посылки является условием последующей. Тогда заключение будет условным суждением, в котором первая часть совпадает с условием первой посылки в последовательности, а вторая часть совпадает со следствием последней посылки в последовательности. В общем виде такая схема будет выглядеть так:

A₁ÉA₂, A₂ÉA₃,..., A_n-1ÉA_n

A₁ÉA_n

Условно-разделительными называются умозаключения, в которых одна из посылок является разделительным суждением, а остальные посылки - условными суждениями. Минимальное число условных посылок, которые могут присутствовать в умозаключении данного типа, равно двум. Условно-разделительное умозаключение с двумя условными посылками называют дилеммами, с тремя условными посылками - трилеммами.

Дилеммы, в свою очередь, делятся на простые и сложные, а также на конструктивные и деструктивные.

Дилемма называется простой конструктивной, если ее заключением является следствие одной из условных посылок.

Дилемма называется сложной конструктивной, если ее заключением является дизъюнкция следствий условных посылок.

Дилемма называется простой деструктивной, если ее заключением является отрицание условия одной из условных посылок.

Дилемма называется сложной деструктивной, если ее заключение является дизъюнкцией отрицаний условий обеих условных посылок.

Удобно представить себе схемы дилемм различных видов в виде простой таблицы.

Теперь приведем примеры различных дилемм. Простой конструктивной дилеммой будет рассуждение Если ваша точка зрения совпадает с точкой зрения вашего начальника, то ваш начальник прав и вы в этом искренне убеждены. Если ваша точка зрения отличается от точки зрения вашего начальника, то ваш начальник все равно прав, потому что ему виднее. Следовательно, ваш начальник всегда прав.

Примером сложной конструктивной дилеммы является рассуждение Если вы не опаздываете на встречи, то вы человек, который бережет свое и чужое время. Если же вы постоянно на них торопитесь, то вы не уверены в своих способностях планировать свое время. Следовательно, вы либо цените свое и чужое время, либо не может его правильно спланировать.

Деструктивными дилеммами будут следующие два примера.

(1) Если человек верит в то, что другие всегда говорят ему правду, то он очень наивен. Если человек верит в то, что другие всегда говорят ему правду, то он уверен в своем исключительном превосходстве над окружающими. Но человек либо не верит в свое исключительное превосходство, либо не является слишком наивным. Следовательно, человек не может быть по настоящему убежденным в том, что другие всегда говорят ему правду.

(2) Если человек торгует подержанными старинными вещами, то терпелив и расчетлив. Если человек покупает старинные подержанные вещи, то он расточителен и романтичен. Но человек либо не является расточительным, либо не является расчетливым. Следовательно, человек либо не покупает антиквариат, либо не торгует им.

Как видно из приведенных примеров, дилеммы являются достаточно длинными рассуждениями и в строгом виде (со всеми надлежащими повторениями) выглядели бы чрезвычайно неестественными и скучными. Поэтому на практике они обычно выступают в виде сокращенных рассуждений, как и силлогизмы. Существует два типичных способа сокращения. Первый состоит в том, чтобы не упоминать разделительную посылку, так как она легко восстанавливается на основании заключения, которое следует сразу за условными посылками. Этот способ был использован примерах конструктивных дилемм. Второй способ заключается в сокращении заключения, если условные посылки являются достаточно развернутыми суждениями, как это было в примерах деструктивных дилемм. Наконец, естественно предположить, что оба эти способа могут использоваться одновременно.

Как уже неоднократно говорилось, всякое умозаключение из сложных суждений, соответствующее какой-либо из вышеописанных схем, является правильным, и в этом смысле, для того, чтобы убедиться в его правильности, достаточно подобное соответствие обнаружить. Однако многие умозаключения имеют такую структуру, которая не совпадает ни с одной из данных схем. Для проверки правильности подобных умозаключений мы можем воспользоваться уже известным нам табличным методом установления наличия отношения логического следования между посылками и заключением. Этот метод является универсальным, но не всегда удобным. Другим же способом может быть разложение сложного умозаключения на последовательность более элементарных частей, относительно каждой из которых известно, представляет она собой пример правильного умозаключения, или нет.

Продемонстрируем возможности второго способа на следующих примерах.

Если студент не сдает экзамен во время сессии, то он либо сдал его досрочно, либо должен сдать его после каникул. Если студент сдал экзамен досрочно, то он способен осваивать теоретический материал самостоятельно. Если студент должен сдать экзамен после каникул, то он не может беззаботно отдыхать. Следовательно, если студент может беззаботно отдыхать в каникулы, но не является способным самостоятельно изучать теорию, то он успешно сдал все экзамены во время сессии.

Обозначим суждение Студент сдал экзамен во время сессии буквой p, суждение Студент сдал экзамен досрочно - буквой q, суждение Студент должен сдать экзамен после каникул - буквой r, суждение Студент способен самостоятельно изучать теорию - буквой s, и суждение Студент может беззаботно отдыхать - буквой t. Тогда наше умозаключение можно схематически представить в следующем виде:

ùpÉ(qÚr), qÉs, rÉùt

(t&ùs)Ép

Очевидно, что такая схема нам не встречалась. Попробуем предварительно определить, к какому типу умозаключений может относиться наше рассуждение. Все его посылки являются условными суждениями. Заключение также является условным суждением. Значит, согласно соответствующему определению, перед нами чисто условное умозаключение.

Теперь попробуем рассмотреть посылки этого умозаключения и сделать из них вывод в соответствии с какой-нибудь из известных нам схем условных умозаключений. Если использовать только следствие первой посылки, т.е. (qÚr), как самостоятельное суждение, и добавить к нему две другие посылки - qÉs, rÉùt, то мы получим посылки сложной конструктивной дилеммы. Заключение такой дилеммы - sÚùt. Но так как разделительная посылка нашего гипотетического умозаключения является следствием в импликации ùpÉ(qÚr), то есть зависит от наличия условия ùp, то и полученное нами заключение тоже будет зависеть от этого условия. Это означает, что заключение, которое получается из трех условных суждений - ùpÉ(qÚr), qÉs, rÉùt, -также будет условным суждением: ùpÉ(sÚùt) (фактически здесь используется комбинация дилеммы и умозаключения по транзитивности).

Сравним полученное нами заключение с данным - (t&ùs)Ép. Условие полученного нами заключения (ùp) отрицается следствием данного (p), что наводит нас на мысль, что данное заключение может быть выведено из полученного нами по контрапозиции (из посылки A ÉB выводится заключение ùBÉ ùA). Проверим, являются ли две другие части этих суждений (sÚùt и t&ùs) отрицаниями друг друга.

Действительно, связки & и Ú являются симметричными связками, то есть для значения выражения неважно, какой из членов конъюнкции либо дизъюнкции стоит первым, а какой - вторым. Их можно свободно менять местами. Поэтому t&ùs эквивалентно ùs&t. В силу эквивалентности (VII) t есть то же самое, что и ùùt, следовательно, ùs&t эквивалентно ùs&ùùt. Последняя же формула, в силу эквивалентности (II), есть то же самое, что и ù(sÚùt). То есть, осуществляя всякий раз эквивалентные преобразования, мы пришли к выводу, что выражение t&ùs эквивалентно выражению ù(sÚùt). Следовательно, высказывания (sÚùt) и t&ùs на самом деле отрицают друг друга. А это значит, что вывод высказывания (t&ùs)Ép из посылки ùpÉ(sÚùt) действительно является контрапозицией.

В таком случае мы можем утверждать, что рассуждение, которое нами анализировалось, является дедуктивно правильным, поскольку представляет собой композицию трех правильных дедуктивных умозаключений - сложной конструктивной дилеммы, транзитивности и контрапозиции.

Обратимся к другому примеру. Каждый преподаватель вуза или читает лекции, или ведет семинарские занятия, или является научным руководителем аспирантов. Если преподаватель не имеет ученой степени, то он не может быть научным руководителем аспирантов. Следовательно, если преподаватель не имеет ученой степени, то он или читает лекции, или ведет семинары.

Введем следующие обозначения: преподаватель читает лекции - p, преподаватель ведет семинары - q, преподаватель руководит аспирантами - r, преподаватель имеет ученую степень - s. Теперь запишем схему рассуждения:

pÚqÚr, sÉùr

sÉ(pÚq)

Схема этого рассуждения тоже не является нам знакомой. Здесь есть одна разделительная посылка, одна условная, и есть условное заключение. Учитывая то, что для каждого разделительного суждения существует эквивалентное ему условное, попробуем преобразовать разделительную посылку нашего рассуждения и представить его в виде чисто условного умозаключения.

Как уже было сказано раньше, дизъюнкция является симметричной связкой, поэтому pÚqÚr есть то же самое, что и rÚpÚq. Далее, в силу эквивалентности (IV), высказывание rÚpÚq будет эквивалентно высказыванию ùrÉ(pÚq). На основании этого посылки нашего умозаключения мы можем представить в виде sÉùr и ùrÉ(pÚq). Тогда по транзитивности из этих посылок следует заключение sÉ(pÚq), которое полностью совпадает с данным. Следовательно, мы убедились в том, что с помощью эквивалентных преобразований данное нам рассуждение превращается в стандартное умозаключение по транзитивности. Следовательно, оно является дедуктивно правильным.

Итак, рассмотренные выше примеры показывают, что хорошее знание сравнительно немногих стандартных логических схем правильных умозаключений и некоторых важных логических эквивалентностей позволяет анализировать произвольные умозаключения из сложных высказываний и получать однозначный ответ на вопрос, являются ли они логически правильными.