Раздел 1

Вычислительный эксперимент. Дискретизация исходной математической задачи.

Действительное изображается в мышлении

не в целых числах, а в дробях.

Л. Фейербах (1804 – 1872)

Тема 1.1 Точность вычислительного эксперимента на ЭВМ.

§ 1.1.1 Приближенные числа

Приближенным числом (ПЧ) а, полученным в результате измерения, счета или выполнения разнообразных математических операций называют приближенным (ПЧ), если оно незначительно отличается от точного А. Так в технических расчетах, из-за ограничения количества цифр в операндах, при производстве вычислений приходиться иметь дело с приближенными числами, а значит заменять ими точные при вычислениях. На ЭВМ числа представляются конечным количеством разрядов. А при измерениях шкалы приборов имеют определенный диапазон.

Например, механические часы дадут одно число, а электронные другое, для одного и того же промежутка времени.

Любое приближенное число (ПЧ) может быть представлено в естественной или полулогарифмической форме: 2.734 или 0.2734 10 ¹. Кроме того, число в позиционной системе счисления можно представить в виде десятичной дроби.

В = α_m10^m + α_m-110^m-1 + α_m-210^m-2 + …+ α_m-n+110^m-n+1 +…,где

m - целое число (старший десятичный разряд В), причем число первого разряда перед запятой имеет цифру 0. n - номер разряда, считая слева направо от старшего разряда числа, α_m – цифра числа.

Например, 32.734 = 3· 10¹ + 2·10⁰ + 7·10^-1 + 3·10^-2 + 4·10^-3, где m = 1, а n принимает значения соответственно (1 – 3 – 1) = -1;. (1 – 4 – 1) = -2; (1 – 5 – 1) = -3.

Приближенное число имеет следующие характеристики:

- число значащих цифр;

- число верных цифр;

- число сомнительных цифр;

- погрешность.

К значащим цифрам относят всех цифры ПЧ, начиная от первой не нулевой цифры с левой стороны числа. Так в числе 0.0 37 две значащих цифры (подчеркнуты) а в числе 14.80 - четыре. Определение верной и сомнительно цифры приведено в следующем параграфе.

ПЧ заменяет собой точное число, которое чаще всего остается неизвестным. Число называют приближенным с недостатком, если оно меньше точного а < A. И с излишком, если оно больше точного a >A. Очень часто точные числа имеют больше цифр, чем это необходимо для вычислений. В таких случаях точные числа заменяют приближенными с помощью округления.

Округлить число к заданному разряду или заданному числу цифр, которые являются значащими - это означает сохранить необходимое количество цифр (отсчитывая по левую сторону), отвергнув другие, или, если это необходимо для сохранности разрядов, заменив их нулями. При округлении соблюдают следующее правило: если первая из цифр, которые отбрасываются меньше 5, то все цифры, которые отбрасываются, зачеркиваются. Если же она больше или равная 5, то все цифры, которые отбрасываются, заменяют единицей высшего разряда.

При вычислении на ЭВМ округление, как правило, не вырабатываются, а цифры что выходят за разрядную сетку отбрасываются. В этом случае погрешность вычисления больше, чем при округлении.

Если входное число имеет несколько сомнительных цифр, его следует заранее округлить. При операциях с ПЧ рекомендуется соблюдать правила академика А. Н. Крылова. ПЧ надо записывать так, чтобы в нем все значащие цифры, кроме последней, были верными, и лишь последняя была бы сомнительной. Мерой точности приближенных чисел является погрешность.

§ 1.1.2. Погрешность приближенных чисел.

Различают два вида погрешности ПЧ - абсолютную и относительную. Если точное число обозначить А, а приближенное а, то абсолютная погрешность числа а - Dx равна разности между его истинным (точным) значением и приближенным значением, полученным в результате вычисления, счета или измерения - a.

Dx =½А – a½

Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности к абсолютному значению ПЧ - d=Dx/½А½ в процентах или промилле (тысячные доли). Так как истинное значение А часто неизвестно, приходиться пользоваться предельной абсолютной погрешностью - Da приближенного числа, a равной по возможности наименьшему числу, для которого выполняется неравенство

Dx =½А – a½£ Da

Значение a и Da позволяют указать интервал, который содержит точное значение А:

а – Da £ А £ a+Da или более компактно А= a ± D a.

Для ПЧ в качестве предельной абсолютной погрешности в широком смысле принято брать единицу последнего разряда числа (Da = 1·10^m-n+1), а в узком смысле - половину единицы последнего разряда числа (Da = 1/2·10^m-n+1). Тогда предельная относительная погрешность будет

da=Da / ½a½.

Так для приближенного числа С =100 предельная абсолютная погрешность в широком смысле Dс = 1·10^2-3+1 = 10⁰ = 1.

Таким образом – С = 100 ± 1. Для этого же числа предельная абсолютная погрешность в узком смысле будет равна 0.5 - С = 101 ± 0.5, а da = 0.5/100 = 0.005.

Если задано приближенное число и его абсолютная погрешность Dx, точисло n первых значащих цифр (десятичных знаков) ПЧ являются верными в узком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда, выражаемой n –й значащей цифрой, считая слева направо.

Таким образом, если для приближенного числа а, заменяющего точное число А, известно, что

Dx = =½А – a½≤ (1/2·10^m-n+1),

то первые n цифр этого числа являются верными. Например, если заданно число 72. 3 53 с погрешностью (±0.026). Число значащих цифр, - 5. Число верных цифр в узком смысле - 3, так как для четвертой цифры 5 (D a = 0.005), а заданная погрешность больше. Поэтому исходное число можно округлить с избытком - 72.4 (±0.026).

Сомнительной цифрой называется цифра, стоящая после верной.

Если имеется приближенное число, а его погрешность не задана, то оценивают предельную допустимую погрешность в узком или широком смысле.

При задании исходных данных в виде ПЧ надо записать необходимое число значащих цифр, абсолютную, относительную или предельную погрешность.

§ 1.1.3. Погрешность математических операций над приближенными числами.

При выполнении математических операций над ПЧ необходимо использовать следующие правила:

1. Абсолютная погрешность алгебраической суммы чисел, равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых;

2. Относительная погрешность произведения и частного равна сумме относительных погрешностей операндов;

3. Относительная погрешность n - ой степени ПЧ в n раз больше относительной погрешности данного числа.

D(a± b) = Da+Db; d(a*b) = da+db; d (a/b) = da+db; d (a ^к) = кd a.

Для оценки погрешности функции y = f (x) используют выражение D y =½ f¢ (a)½*D a.

В практических вычислениях с большим числом операций погрешность каждой операции обычно не определяется. Вместо этого используют правила округления результатов действий над ПЧ в зависимости от числа верных десятичных знаков в исходных данных. Десятичными знаками ПЧ называют всех его верные цифры, которые стоят по правую сторону после запятой.

1. При сложении и вычитании ПЧ в результате сохраняется столько десятичных знаков, сколько их в приближенном исходном числе с наименьшим числом значащих цифр;

2. При умножении и делении в результате сохраняется столько цифр, которые значат, сколько их в близком входном числе с наименьшим числом значащих цифр;

3. При возведении в n степень ПЧ в результате сохраняется столько значащих цифр, сколько их в приближенном исходном числе.

4. Во всех промежуточных результатах необходимо брать на одну цифру больше, чем рекомендуется в предыдущих правилах. В окончательном результате эта запасная цифра отбрасывается.

5. Если некоторые данные имеют больше десятичных знаков (в правиле 1) или больше значащих цифр (в правилах 2 и 3), чем другие, то их следует заранее округлить, сохранив одну лишнюю цифру.

6. Если исходные данные можно брать с произвольной точностью, то для получения результата с k верными цифрами исходные данные берутся с таким числом верных цифр, которое даст согласно правилам (1-3) k+ 1 цифру в результате.

При соблюдении этих правил окончательный результат почти всегда будет иметь все верные цифры.

§ 1.1.4 Характеристики методов вычислений.

В вычислительной математике в основном применяют следующие методы вычислений:

1. Качественный;

2. Аналитический;

3. Численный.

Например, теорема о корнях многочлена позволяет оценить качественно количество его корней, исходя из степени многочлена. Примером аналитического метода может служить способ Крамера для решения системы линейных алгебраических уравнений. Методы, которые могут быть сведены или сводятся к последовательности арифметических действий над приближенными числами, называют численными.

Каждый численный метод (ЧМ) можно охарактеризовать погрешностью, устойчивостью, корректностью и сходимостью. Погрешность ЧМ зависит от погрешности исходных данных (они неустранимы), погрешности алгоритма реализации метода (может быть уменьшена до разумной границы), погрешности вычислений на ЭВМ (как правило, имеет - d _мах» 0.5 10^-8).

ЧМ считают устойчивым, если малые погрешности в исходных данных приводят к малым погрешностям в результатах расчетов.

Задача, которая решается ЧМ, называется поставленной корректно, если для любых значений исходных данных из некоторого класса ее решение существует, единственно и конечно.

Под сходимостью численного метода принято понимать близость численного решения к истинному результату. Различают понятие сходимости итерационного процесса ЧМ и сходимости при использовании средства дискретизации исходной задачи. Они будут рассмотрены при изучении соответствующих ЧМ.

Тестовые задания для самопроверки усвоения темы.

1. 5.876 – это число представлено в полулогарифмической форме?
2. 478, 1485; Записать это число в виде десятичной дроби.
3. а) 0.0065; б) 0.0001; в) 78.089; г) 0.793. Где число с двумя значащими цифрами?
4. С = 50; с = 49.6. Найти dс и Dс.
5. р = 7.564. Найти предельную относительную погрешность в узком смысле.
6. а = 7.89 Da = ± 0. 01; р = 5.6 Dр = ± 0. 1 Найти с = а + р и погрешность результата.
7. а = 5.87 Da = ± 0. 01; Сколько верных цифр в ПЧ а?
8. 1. вычисление погрешности суммы; 2. вычисление погрешности разности; 3. вычисление погрешности числа в степени; 4. вычисление погрешности функциональной зависимости. а) Da+Db; б) кda в) ½ f¢(a)½*Da. г) Da+Db; Поставить в соответствие понятию, обозначенному цифрой выражение, помеченное буквой (классифицировать).
9. Записать названия методов вычислений, используемых в математике. Привести примеры.
10. Перечислить характеристики численных методов.

11. РАЗДЕЛ 1

12.

13. Вычислительный эксперимент. Дискретизация выходной математической задачи.

14.

15. Уравнение умнее своих создателей.

16. Генрих Герц (1857 - 1894)

17.

18. ТЕМА 2. Исчисление конечных разностей. Разностные уравнения.

19.

20. § 1.2.1 Табличное представление функций. Система обозначений. Операторы.

21.

22. Хотя непрерывные функции широко используются в инженерной практике, применение вычислительной техники требует иного подхода к их представлению. Любую непрерывную функцию Y одного аргумента X можно представить в виде двух числовых последовательностей: X_к Y_к, К= 0,1,2,3,....... Такие последовательности называют решетчатой (табличной, сеточной) функцией, которая представляет собой значения функции для ряда дискретных значений аргумента с шагом h. F(Х)_{х = nh} = F_n

23. Последовательности принято располагать в виде вертикальной таблицы или графически в виде дискретных ординат (рис.1), где X_к Y_к узел таблицы, а DC=X₁-X₀ = h - шаг аргумента (таблицы).

24. x x₀, x₁, x₂, … x_n

_25. y y₀, y₁, y₂, … y_n

26.

27. y

28.

29.

30.

31.

32. x

33. Рис.1 Решетчатая функция

34.

35. Часто в качестве аргумента, используют целые значения К. Производя, замену переменной, Х на t, проводят операцию нормирования.

36. t = (Х - Х₀)./ DC = К. Последовательности X_к Y_к связаны между собой определенным образом. Напомним, что в общем случае, если C,_, Y произвольные непустые множества и каждому элементу xÎC ставится вполне определенный элемент yÎY, то говорят, что определено отображение множества X в множество Y. Формальная запись: F:X®Y.В частном случае, если C _, Y множества функций, то F: называют оператором. При C, Y множества чисел - это функция, а при C - множество функций_, Y - множество чисел - функционал.

37. При этих обозначениях любую вычислительную задачу можно представить формально таким образом: U= А C, где C - исходные данные, А - оператор, U- решение прямой задачи или C=BU- решение обратной задачи.